Zusammenfassung - Gromov-Hausdorff-Abstand zwischen chromatischen Metrik-Paaren und Stabilität des Sechspacks

Gromov-Hausdorff-Abstand zwischen chromatischen Metrik-Paaren und Stabilität des Sechspacks

2025-07-24 00:02:29

{"Ondřej Draganov","Sophie Rosenmeier","Nicolò Zava"}

{math.MG,cs.CG}

Dieses Papier untersucht den Gromov-Hausdorff-Abstand zwischen farbigen Metrikpaaren und die Stabilität des Sechserpakets von Persistenzdiagrammen. Farbige Metrikpaare bestehen aus einem Metrischen Raum und einer Farbungsfunktion, die eine Teilmenge desselben in verschiedene Farben einteilt. Das Sechserpaket ist eine Sammlung von sechs Persistenzdiagrammen, die homologische Informationen darüber zusammenfassen, wie die farbigen Teilmenge miteinander interagieren. Die Autoren introduceisen eine geeignete Generalisierung des Gromov-Hausdorff-Abstandes, um farbige Metrikpaare zu vergleichen. Sie zeigen einige grundlegende Eigenschaften und bestätigen diese Definition durch die Erzielung der Stabilität des Sechserpakets hinsichtlich dieses Abstands. Sie diskutieren auch seine Beschränkung auf Metrikpaare und seine Rolle in der Stabilität der Cech-Persistenzdiagramme. Schlüsselpunkte: * **Farbige Metrikpaare**: Ein Metrischer Raum und eine Farbungsfunktion, die eine Teilmenge desselben in verschiedene Farben einteilt. * **Sechserpaket**: Eine Sammlung von sechs Persistenzdiagrammen, die homologische Informationen darüber zusammenfassen, wie die farbigen Teilmenge miteinander interagieren. * **Gromov-Hausdorff-Abstand**: Eine Divergenzbezeichnung, die von Gromov eingeführt wurde, um die Konvergenz metrischer Strukturen zu untersuchen. * **Stabilität**: Die Eigenschaft, dass wenn zwei Datensätze ähnlich sind, dann ihre zugehörigen Invarianten ebenfalls ähnlich sein sollten. Die Autoren beweisen, dass das Sechserpaket bezüglich des Gromov-Hausdorff-Abstands zwischen farbigen Metrikpaaren stabil ist. Dieses Ergebnis ist bedeutsam, weil es eine Vergleichsmöglichkeit für Datensätze mit verschiedenen Farbungen und verschiedenen zugrunde liegenden Metrischen Räumen ermöglicht. Das Papier behandelt auch die folgenden Themen: * **C-beschränkte Karten**: Karten zwischen farbigen Metrikpaaren, die bestimmte Beschränkungen bezüglich der Farben der Punkte erfüllen. * **Alexandrov-Topologien**: Ein Typ von Topologie auf einer Menge von Farben. * **C-beschränkter Gromov-Hausdorff-Abstand**: Eine Generalisierung des Gromov-Hausdorff-Abstands für farbige Metrikpaare. * **Persistente Homologie**: Ein Werkzeug zur Untersuchung der Topologie von Datensätzen. Die Autoren schließen ihre Überlegungen durch eine Diskussion der Auswirkungen ihrer Ergebnisse für die Untersuchung von farbigen Punktsätzen und der persistente Homologie ab.