Zusammenfassung - Klassifizierung von integralen Grothendieck-Ringen bis zum Rang 5 und darüber hinaus

Klassifizierung von integralen Grothendieck-Ringen bis zum Rang 5 und darüber hinaus

2025-07-09 16:53:14

{"Max A. Alekseyev","Winfried Bruns","Jingcheng Dong","Sebastien Palcoux"}

{math.QA,math.CT,math.GR,math.RA,math.RT,"18M20 (Primary) 05E10, 11D68, 16T20, 16Z05, 20C15, 20G42 (Secondary)"}

Dieses Papier bietet eine umfassende Klassifikation von integralen Grothendieck-Ringen bis zur Ordnung 5 und darüber hinaus unter verschiedenen Annahmen. Hier ist eine Zusammenfassung der Hauptpunkte: **Allgemeiner Fall (§6 und Anhang A)**: * Die Klassifikation der integralen Verschmelzungskategorien bis zur Ordnung 5 ist vollständig, was zu 29 integralen Drinfeld-Ringen und 58 1-Frobenius-Drinfeld-Ringen der Ordnung 6 führt. * Die einzige nicht-punktierte einfache integrale 1-Frobenius-Verschmelzungskategorie der Ordnung bis zu 6 ist äquivalent zu Rep(A5). * Die kleinste Ordnung für eine nicht-Isaacsche integrale Verschmelzungskategorie ist 6, wie durch die grupentheoretische Verschmelzungskategorie C(A5, 1, S3, 1) realisiert. **Nicht-kommutativer Fall (§8 und Anhang C)**: * Der einzige nicht-kommutative integrale Drinfeld-Ring bis zur Ordnung 6 ist der Gruppenring ZS3. * Die Klassifikation der nicht-kommutativen integralen Grothendieck-Ringen bis zur Ordnung 7 ist vollständig, mit dem Gruppenring ZS3 als einzigem Beispiel der Ordnung 6 und drei Beispielen der Ordnung 7. * Die Klassifikation aller 29 nicht-kommutativen integralen Drinfeld-Ringen der Ordnung bis zu 8 ist vollständig, mit einem Ring der Ordnung 6, drei Ringen der Ordnung 7 und 25 Ringen der Ordnung 8. **Ungleichdimensionaler Fall (§7 und Anhang B)**: * Der Grothendieck-Ring jeder ungleichdimensionalen integralen Verschmelzungskategorie ist ein MNSD-integraler Drinfeld-Ring. * Die Klassifikation der MNSD-Drinfeld-Ringe bis zur Ordnung 7 ist vollständig, mit acht Drinfeld-Ringen, von denen alle kategorifizierbar sind, mit Ausnahme eines. * Der erste bekannte ungleichdimensionale integrale Verschmelzungskategorie, der nicht Grothendieck-gleichwertig mit einem Tannakischen ist, tritt bei der Ordnung 27 auf. * Die Klassifikation der 1-Frobenius-MNSD-integralen Drinfeld-Ringe bis zur Ordnung 9 und 11 ist vollständig, mit 10 und 24 Beispielen, respectively. **Exotische Drinfeld-Ringe**: * Das Papier identifiziert mehrere exotische einfache integrale Drinfeld-Ringe, die nicht die Grothendieck-Ringe irgendeiner schwach grupentheoretischen Verschmelzungskategorie sind. * Diese exotischen Drinfeld-Ringe sind potenzielle Gegenbeispiele für die erweiterte Version der Kaplansky'schen sechsten Vermutung für Verschmelzungskategorien und können keine gebündelte Kategorifizierung zulassen. * Das Papier präsentiert Beispiele von exotischen Drinfeld-Ringen der Ordnungen 4, 6 und 7 mit FPdim ≤ 200000, 200000 und 2000, respectively. **Schlussfolgerung**: Dieses Papier stellt eine bedeutende Fortschritte in der Klassifikation von integralen Grothendieck-Ringen dar und bietet eine tiefere Verständnis der Struktur und Eigenschaften dieser Objekte. Die hier präsentierten Ergebnisse werden zur weiteren Forschung über Verschmelzungskategorien und ihre Kategorifizierung beitragen.