会員関数（数学） - 百科事典

数学では、曖昧集合のメンバシップ関数は、古典集合のインディケータ関数の一般化です。曖昧論理では、これは評価の拡張として真実度を表現します。真実度は通常、確率と混同されますが、概念的には異なります。なぜなら、曖昧真実はあいまいに定義された集合のメンバシップを表現するものであり、ある出来事や状態の確率とは異なるからです。メンバシップ関数は、Aliasker Zadehによって、曖昧集合に関する最初の論文（1965年）で導入されました。Aliasker Zadehは、曖昧集合の理論において、範囲が（0,1）区間をカバーするメンバシップ関数（すべての可能な値の領域で動作する）の使用を提案しました。

定義
任意の集合



X


{\displaystyle X}

に対して、集合



X


{\displaystyle X}

上のメンバシップ関数は、集合



X


{\displaystyle X}

から実単位区間


[
0
,
1
]


{\displaystyle [0,1]}

への任意の関数です。
メンバシップ関数は、集合


X


{\displaystyle X}

の曖昧部分集合を表現します。曖昧集合





A
~





{\displaystyle {\tilde {A}}}

を表現するメンバシップ関数は、通常



μ

A


.


{\displaystyle \mu _{A}.}

と示されます。集合


X


{\displaystyle X}

の要素


x


{\displaystyle x}

に対して、値



μ

A


(
x
)


{\displaystyle \mu _{A}(x)}

は、要素


x


{\displaystyle x}

が曖昧集合





A
~





{\displaystyle {\tilde {A}}}

のメンバシップ度と呼ばれます。メンバシップ度



μ

A


(
x
)


{\displaystyle \mu _{A}(x)}

は、要素


x


{\displaystyle x}

が曖昧集合





A
~





{\displaystyle {\tilde {A}}}

にどれだけ属するかを定量化します。値0は、要素


x


{\displaystyle x}

が曖昧集合に属していないことを意味し、値1は要素


x


{\displaystyle x}

が完全に曖昧集合に属していることを意味します。0と1の間の値は、曖昧メンバーシップを特徴付けるものであり、曖昧集合に部分で属するものです。

時には、より一般的な定義が使用されることがあります。その場合、メンバシップ関数は任意の固定された代数や構造


L


{\displaystyle L}

に値を取ります。通常、

L

{\displaystyle L}

が少なくとも順序集合または格であることが要求されます。このように[0,1]に値を取る一般的なメンバシップ関数は、[0,1]値のメンバシップ関数と呼ばれます。

効率
集合の効率に関する記事を参照してください。メンバシップ関数の応用の一つは、決定理論における効率としてです。決定理論では、効率は、ある集合の部分集合の集合


S


{\displaystyle S}

から


[
0
,
1
]


{\displaystyle [0,1]}

への関数


ν


{\displaystyle \nu }

と定義されます。この関数は集合的に単調であり、正規化（すなわち


ν
(
∅
)
=
0
,
ν
(
Ω
)
=
1
)
であること要求されます。


{\displaystyle \nu (\emptyset )=0,\nu (\Omega )=1).}

これは、可数加法の公準が弱化された確率測度の一般化です。効率は、出来事の主観的な確率測度として使用され、ある効率に対して結果の「期待値」はChoquet積分を取ることで求められます。

参考項
Defuzzification
Fuzzy measure theory
Fuzzy set operations
Rough set


参考文献
Zadeh L.A., 1965, "Fuzzy sets". Information and Control 8: 338–353. [1]
Goguen J.A, 1967, "L-fuzzy sets". Journal of Mathematical Analysis and Applications 18: 145–174


外部リンク
Fuzzy Image Processing