形態学的梯度 - 百科事典

数学的形态学とデジタル画像処理において、形状の勾配は与えられた画像の膨張と浸食の差です。これは、各ピクセル値（典型的には非負値）がそのピクセルの近傍の対比強度を示す画像です。エッジ検出や分断アプリケーションに有用です。

数学定義と種類
次のようになります。


f
:
E
↦
R


{\displaystyle f:E\mapsto R}

がグレースケール画像であり、ユークリッド空間または離散グリッド E（例えば R2 または Z2）の点を実数線にマッピングする場合、次のようになります。

b
(
x
)


{\displaystyle b(x)}

がグレースケール構造要素です。通常、bは対称で短いサポートを持っています、例えば、



b
(
x
)
=
\left\{{\begin{array}{ll}0,&|x|\leq 1,\\-\infty ,&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.


{\displaystyle b(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0,&|x|\leq 1,\\-\infty ,&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.}

.
それでは、fの形状の勾配は以下で与えられます：



G
(
f
)
=
f
⊕
b
−
f
⊖
b


{\displaystyle G(f)=f\oplus b-f\ominus b}

,
ここで

⊕


{\displaystyle \oplus }

と

⊖


{\displaystyle \ominus }

は膨張と浸食をそれぞれ示します。

内部勾配は以下で与えられます：



G
i
(
f
)
=
f
−
f
⊖
b


{\displaystyle G_{i}(f)=f-f\ominus b}

,
外部勾配は以下で与えられます：



G
e
(
f
)
=
f
⊕
b
−
f


{\displaystyle G_{e}(f)=f\oplus b-f}

.
内部と外部勾配は勾配よりも「細い」ですが、勾配のピークはエッジ上に位置しますが、内部と外部のものはエッジの両側に位置します。次のように注意してください。

G
i
+
G
e
=
G


{\displaystyle G_{i}+G_{e}=G}

.
もし

b
(
0
)
≥
0


{\displaystyle b(0)\geq 0}

なら、すべての3つの勾配はすべてのピクセルで非負値を持ちます。

参考文献
- Jean Serraの「Image Analysis and Mathematical Morphology」、ISBN 0-12-637240-3（1982年）
- Jean Serraの「Image Analysis and Mathematical Morphology, Volume 2: Theoretical Advances」、ISBN 0-12-637241-1（1988年）
- Edward R. Doughertyの「An Introduction to Morphological Image Processing」、ISBN 0-8194-0845-X（1992年）

外部リンク
Morphological gradients, Centre de Morphologie Mathématique, École_des_Mines_de_Paris