T-ノルムuzzyロジックス - 百科事典
T-norm fuzzy logicsは、非古典論理学の一家族であり、形式を以下のように非形式的に定義しています。すなわち、真値のシステムとして実数単位区間[0,1]を使用し、結合の許可された解釈としてt-normと呼ばれる関数を使用する意味論を持つ論理学です。これらは主に応用 fuzzy logicとfuzzy集合理論において、近似推論のための理論的な基盤として使用されます。
T-norm fuzzy logicsは、より広い分類のfuzzy logicsや多値論理学に属します。よく行われる含意を生成するために、t-normは通常左連続である必要があります；左連続t-normの論理学は、それらが前線性法則(A→B)∨(B→A)の有効性を持つことで、下構造論理学のクラスに属します。両方の述語論理および一階（または高階）t-norm fuzzy logics、それらのモダルや他の演算子による拡張も研究されています。t-norm意味論を実数単位区間の一部に制限する論理学（例えば、有限値のŁukasiewicz論理学）は、通常このクラスに含まれます。
t-norm fuzzy logicsの重要な例としては、すべての左連続t-normを持つねじれt-norm論理学（MTL）、すべての連続t-normを持つ基本論理学（BL）、積t-normの積fuzzy論理学、またはねじれ積t-normのねじれ最小論理学があります。いくつかの独立に動機付けられた論理学もt-norm fuzzy logicsに属します。例えば、Łukasiewicz論理学（Łukasiewicz t-normの論理学）やGödel-Dummett論理学（最小t-normの論理学）などです。
動機
fuzzy logicsの一家族のメンバーとして、t-norm fuzzy logicsは、1（真）と0（偽）の間に中間の真値を許可することで、古典の二値論理学を一般化することを目指しています。これらの度数は、単位区間[0,1]からのものであると仮定されます。述語論理のt-norm fuzzy logicsでは、述語結合子が真値関数であると規定されています；つまり、一部の構成命题から構成される複合命题の真値は、構成命题の真値の関数（結合子の真値関数と呼ばれます）です。真値関数は真値度数の集合（標準的な意味論では[0,1]区間）に作用します；したがって、n-aryの述語結合子cの真値関数は、Fc: [0,1]^n → [0,1]の関数です。真値関数は、古典論理学で知られている述語結合子の真値表をより大きな真値システムに拡張します。
t-norm fuzzy logicsは、結合の真値関数に自然な制約を課します。結合の真値関数
∗
:
[
0
,
1
]
2
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle *\colon [0,1]^{2}\to [0,1]}
は以下の条件を満たすと仮定されます：
commutativity、すなわち、
x
∗
y
=
y
∗
x
{\displaystyle x*y=y*x}
すべてのxとyが[0,1]に属する場合に。
associativity、すなわち、
(
x
∗
y
)
∗
z
=
x
∗
(
y
∗
z
)
{\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)}
すべてのx、y、zが[0,1]に属する場合に。
monotony、すなわち、
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
の場合、
x
∗
z
≤
y
∗
z
{\displaystyle x*z\leq y*z}
すべてのx、y、zが[0,1]に属する場合に。
1の中性性、すなわち、
1
∗
x
=
x
{\displaystyle 1*x=x}
すべてのxが[0,1]に属する場合に。
関数
∗
{\displaystyle *}
の連続性（前の条件はこの要求をどちらの引数の連続性に縮小します）。非形式的に言えば、これは結合子の真値度数の微小な変化がその結合子の真値度数に微小な変化を引き起こすことを仮定しています。この条件は、他の多くのことの中で、結合から導かれる（残りの）含意の良い行動を確保することも含みます；しかし、良い行動を確保するために、関数
∗
{\displaystyle *}
の左連続性（どちらの引数でも）が十分です。したがって、一般的なt-norm fuzzy logicsでは、関数
∗
{\displaystyle *}
の左連続性のみが必要であり、これは結合子の真値度数の微小な減少が結合子の真値度数に微小な減少を引き起こすという仮定を表現しています。
これらの仮定により、結合の真値関数は左連続t-normであり、これがfuzzy logicsの一家族（t-normに基づく）の名前の由来です。一家族の特定の論理学は、結合の行動や他の結合子（例えば、IMTL（反演ねじれt-norm論理学）は否定のねじれ性を要求します）についてさらに仮定をすることができます。
すべての左連続t-normはユニークな余剰を持っています；すなわち、すべてのx、y、zが[0,1]に属する場合、
x
∗
y
≤
z
{\displaystyle x*y\leq z}
が当てはまる場合と同時に
x
≤
y
⇒
z
{\displaystyle x\leq y\Rightarrow z.}
と当てはまるような二元関数
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
です。
左連続t-normの余剰は以下のように明示的に定義できます。
(
x
⇒
y
)
=
sup
{
z
∣
z
∗
x
≤
y
}
.
{\displaystyle (x\Rightarrow y)=\sup\{z\mid z*x\leq y\}.}
これにより、余剰はすべてのxとyに対して
x
∗
(
x
⇒
y
)
≤
y
{\displaystyle x*(x\Rightarrow y)\leq y}
と当てはまるような点において最大の関数であり、これにより、fuzzy modus ponensが有効になる最も弱い関数として特徴付けられます。これにより、fuzzy logicの含意のための適切な真値関数となります。左連続t-normの連続性は、t-norm結合とその余剰含意の間の関係が存在する必要かつ十分な条件です。
さらに述語結合子の真値関数は、t-normとその余剰を用いて定義できます。例えば