デフォルトロジック - 百科事典

デフォルトロジックは、レイモンド・リーターが提案した非モノトニックロジックで、デフォルト仮定による推論を形式化するために提案された。

デフォルトロジックは「デフォルトで何かが真である」というような事実を表現できる；対照的に、標準ロジックは何かが真であるか、何かが偽であるかを表現するだけでなく、推論はしばしば大多数の場合に真であるが必ずしもそうでない事実を含むため、これは問題となる。古典的な例として、「鳥は通常飛ぶ」というルールがある。このルールは標準ロジックでは、「すべての鳥は飛ぶ」という形式で表現されるが、これはペンギンが飛べないという事実と矛盾する。または、「ペンギンやキツツキなどでないすべての鳥は飛ぶ」という形式で表現されるが、このルールのすべての例外を指定する必要がある。デフォルトロジックは、これのようなルールをすべての例外を明示的に言及することなく形式化することを目指している。

デフォルトロジックの構文
デフォルト理論は、以下のペア



⟨
W
,
D
⟩


{\displaystyle \langle W,D\rangle }

で構成される。Wは、確かに知られている事実を形式化するための背景理論として呼ばれる論理公式の集合である。Dは、デフォルトルールの集合で、各ルールは以下の形式：









P
r
e
r
e
q
u
i
s
i
t
e
:
J
u
s
t
i
f
i
c
a
t
i
o
n


1


,
…
,


J
u
s
t
i
f
i
c
a
t
i
o
n


n




C
o
n
c
l
u
s
i
o
n





{\displaystyle {\frac {\mathrm {Prerequisite:Justification} _{1},\dots ,\mathrm {Justification} _{n}}{\mathrm {Conclusion} }}}


このデフォルトに基づいて、仮定が真であると信じられ、各





J
u
s
t
i
f
i
c
a
t
i
o
n


i




{\displaystyle \mathrm {Justification} _{i}}

が



i
=
1
,
…
,
n


{\displaystyle i=1,\dots ,n}

までの現在の信念と一致する場合、結論が真であると信じられることになる。

Wとデフォルトのすべての公式はもともと一階論理公式と考えられていたが、任意の形式逻辑の公式であり得る。これらが命題論理の公式である場合が最も研究されている。

= 例 =
「鳥は通常飛ぶ」というデフォルトルールは以下のデフォルトで形式化される：




D
=

{




B
i
r
d

(
X
)
:

F
l
i
e
s

(
X
)



F
l
i
e
s

(
X
)



}



{\displaystyle D=\left\{{\frac {\mathrm {Bird} (X):\mathrm {Flies} (X)}{\mathrm {Flies} (X)}}\right\}}


このルールは、「Xが鳥であり、飛ぶことが仮定できる場合、それが飛ぶという結論が導かれる」という意味である。鳥に関する一部の事実を含む背景理論は以下のようになる：




W
=
{

B
i
r
d

(

C
o
n
d
o
r

)
,

B
i
r
d

(

P
e
n
g
u
i
n

)
,
¬

F
l
i
e
s

(

P
e
n
g
u
i
n

)
,

F
l
i
e
s

(

B
e
e

)
}


{\displaystyle W=\{\mathrm {Bird} (\mathrm {Condor} ),\mathrm {Bird} (\mathrm {Penguin} ),\neg \mathrm {Flies} (\mathrm {Penguin} ),\mathrm {Flies} (\mathrm {Bee} )\}}

.

このデフォルトルールによると、Condorが飛ぶのは、仮定のBird(Condor)が真であり、仮定のFlies(Condor)が現在の知識と矛盾しないからである。一方で、Bird(Penguin)はFlies(Penguin)を導くことができない：デフォルトルールは、Flies(X)をBird(X)から導くことを許可するが、逆转はない。推論ルールの前件を結論から導き出すことは、結論の説明の一形態であり、推論推理の目的である。

一般的なデフォルト仮定は、「知られていないことが偽である」という仮定であり、これは閉世界仮定として知られており、デフォルトロジックでは以下のようなデフォルトを使用して形式化される。







:

¬

F



¬

F





{\displaystyle {\frac {:{\neg }F}{{\neg }F}}}


例えば、プログラミング言語Prologは、否定に対応するデフォルト仮定を使用している：否定のアトムが真であることが証明できない場合、それは偽であると仮定される。

ただし、Prologは「否定としての失敗」という手法を使用している：インタープリタがアトム



¬
F


{\displaystyle \neg F}

を評価する際に、Fが真であることを証明しようと試み、失敗した場合



¬
F


{\displaystyle \neg F}

が真であると結論づける。一方で、デフォルトロジックでは、



¬
F


{\displaystyle \neg F}

が仮定としての



¬
F


{\displaystyle \neg F}

と一致する場合にのみ適用されるデフォルトがある。

= 制約 =
デフォルトは、仮定がなければカテゴリ的または仮定なしである（または、同値に、仮定が重言法である）。デフォルトは、結論と等価である唯一の仮定がある場合に通常である。デフォルトは、カテゴリ的でない場合に超通常である。デフォルトは、すべての仮定が結論を導く場合に半通常である。デフォルト理論は、すべてのデフォルトがカテゴリ的、通常、超通常、または半通常である場合にそれぞれカテゴリ的、通常、超通常、または半通常と呼ばれる。

デフォルトロジックの意味論
デフォルトルールは、仮定が理論に導かれる場合にその理論に適用できる。デフォルトルールの適用は、その結論を理論に追加することになる。その後、他のデフォルトルールが結果的な理論に適用される。理論が他のデフォルトが適用できない場合、その理論はデフォルト理論の拡張と呼ばれる。デフォルトルールは異なる順番で適用されることがあり、これにより異なる拡張が引き起こされる。ニクソン・ダイヤモンド例は、二つの拡張を持つデフォルト理論である：