量子容量 - 百科事典

量子通信理論において、量子容量は、ノイズのある量子チャネルを利用して、送信者から受信者に量子情報が通信される最高速度を示します。これは、チャネルを通じてエンタングルメントが生成される最高速度にも等しいもので、前向きな古典通信はそれを向上させることができません。量子容量定理は量子エラー修正理論、もっと広範に言えば量子計算理論にとって重要です。量子容量の下限を与える定理は、Lloyd、Shor、Devetakという著者たちが厳密性を高めながら証明したことにちなんで、俗にLSD定理と呼ばれています。

Pauliチャネルのハッシュ界
LSD定理は、量子チャネルのコヒーレント情報が信頼性のある量子通信のための達成可能な速度であることを示しています。Pauliチャネルの場合、コヒーレント情報は単純な形を持ち、達成可能であることを証明するプロセスも特にシンプルです。私たちは、ランダムな安定子コードを利用して、チャネルが生成する可能性の高いエラーのみを修正することで、この特別な場合に対して定理を証明しました。

定理（ハッシュ界）。以下の形のPauliチャネルに対して、ハッシュ限界を達成する安定子量子エラー修正コードが存在します。

R = 1 - H(p)

ここで、

ρ ↦ p_Iρ + p_XXρX + p_YYρY + p_ZZρZ


と書かれており、

p = (p_I, p_X, p_Y, p_Z)

で、

H(p)

はこの確率ベクトルのエントロピーです。

証明。通常のエラーのみを修正することを考えてみましょう。つまり、以下のように典型的なエラー集合を定義することを考えてみましょう：

T_δ^p^n ≡ {a^n : |−1/n log_2(Pr{E_{a^n}}) − H(p)| ≤ δ}

ここで、

a^n
は以下の文字からなるシーケンスで構成されています：

{I, X, Y, Z}

そして、

Pr{E_{a^n}}

はIIID Pauliチャネルがテンソル積エラー

E_{a^n} ≡ E_{a_1} ⊗ ⋯ ⊗ E_{a_n}

を発行する確率です。
この典型的な集合は、以下の意味で可能性の高いエラーを含んでいます：

∑_{a^n ∈ T_δ^p^n} Pr{E_{a^n}} ≥ 1 − ε

ここで、

ε > 0
そして十分に大きな

n

に対してすべての

ε

に対してです。安定子コード

S

のエラー修正条件は、以下の通りです：

{E_{a^n} : a^n ∈ T_δ^p^n}

が正規化子

N(S)

を除く

S

にあるエラー集合を正規化子

N(S)

を除く

S

で修正可能である場合です。
また、ランダムな安定子コードの下でのエラー確率の期待値を考慮します。

以下のように進めます：

E_S{p_e} = E_S{∑_{a^n} Pr{E_{a^n}} I(E_{a^n} は Sで不可修正)}

≤ E_S{∑_{a^n ∈ T_δ^p^n} Pr{E_{a^n}} I(E_{a^n} は Sで不可修正)} + ε

= ∑_{a^n ∈ T_δ^p^n} Pr{E_{a^n}} E_S{I(E_{a^n} は Sで不可修正)} + ε

= ∑_{a^n ∈ T_δ^p^n} Pr{E_{a^n}} Pr_S{E_{a^n} は Sで不可修正} + ε

.

最初の等号は定義によるもので、

I

は、

E_{a^n}

が

S

で不可修正である場合に1、そうでない場合に0である指標関数です。最初の不等号は、典型的なエラーのみを修正しているため、典型的なエラー集合が非常に小さい確率を持つためです。第二の等号は期待値と和を交換したもので、第三の等号は指標関数の期待値がその選択された事象が発生する確率であることに基づいています。

続いて、以下のようにします：

= ∑_{a^n ∈ T_δ^p^n} Pr{E_{a^n}} Pr_S{∃E_{b^n} : b^n ∈ T_δ^p^n, b^n ≠ a^n, E_{a^n}†E_{b^n} ∈ N(S) ∖ S}

≤ ∑_{a^n ∈ T_δ^p^n} Pr{E_{a^n}} Pr_S{∃E_{b^n} : b^n ∈ T_δ^p^n, b^n ≠ a^n, E_{a^n}†E_{b^n} ∈ N(S)}

= ∑_{a^n ∈ T_δ^p^n} Pr{E_{a^n}} Pr_S{∃E_{b^n} : b^n ∈ T_δ^p^n, b^n ≠ a^n, E_{a^n}†E_{b^n} ∈ N(S)}

= ∑_{a^n, b^n ∈ T_δ^p^n, b^n ≠ a^n} Pr{E_{a^n}} Pr_S{E_{a^n}†E_{b^n} ∈ N(S)}

≤ ∑_{a^n, b^n ∈ T_δ^p^n, b^n ≠ a^n} Pr{E_{a^n}} 2^{−(n−k)}

≤ 2^{2n[H(p)+δ]} 2^{−n[H(p)+δ]} 2^{−(n−k)}

= 2^{−n[H(p)+δ]}

最初の等号は量子安定子コードのエラー修正条件によるもので、

N(S)

は

S

の正規化子です。最初の不等号はコードの潜在的な重複を無視したもので、エラーが正規化子

N(S)

に属していない場合にエラーを不可修正と見なし、確率が大きくなる可能性があるためです。第二の等号は存在しうる事象の確率と事象の和の確率が等しいことに基づいています。第二の不等号は和の制約を適用したもので、第三の不等号は固定された演算子

E_{a^n}†E_{b^n}

がランダムな安定子の安定子演算子と共通する可能性の低さを示しています。

ここでの推論は、ランダムな安定子コードの選択が、

Z_1

から
まで

Z_{n−k}

と固定された演算子

Z_{n−k}

を固定し、一様にランダムなCliffordユニタリー演算を行うことに等しいことです。固定された演算子が

Z_1

から
まで

Z_{n−k}

と固定された演算子

Z_{n−k}

と共通する確率は、正規化子

N(S)

にある非単位演算子の数

2^{n+k}−1

で、総数の非単位演算子の数

2^{2n}−1

で、次のように上界付けされます：

Pr_S{E_{a^n}†E_{b^n} ∈ N(S)} = {2^{n+k}−1}/{2^{2n}−1} ≤ 2^{−(n−k)}

この理由は、ランダムな安定子コードの選択が、

Z_1

から
まで

Z_{n−k}

と固定された演算子

Z_{n−k}

を固定し、一様にランダムなCliffordユニタリー演算を行うことに等しいことです。固定された