消去理論 - 百科事典

代数幾何学および環の代数において、消去理論は、多変数の多項式の間で一部の変数を消去するためのアルゴリズム的アプローチの古典的な名前であり、これにより多項式方程式のシステムを解くために用いられる。

古典的な消去理論は、フランシス・マッカロイが多変数の結果を扱った研究で集約され、バートル・ファン・デル・ワーケンの「現代代数」の消去理論に関する章（1930年版）に記述されている。それ以降、消去理論はほとんどの代数幾何学者により約30年間見捨てられ、その後、多項式方程式を解くための新しい方法、例えばグロブナー基底が導入され、コンピュータ代数に必要なものであった。

歴史および現代理論との関連
消去理論の分野は、多項式方程式のシステムを解くための方法の必要性にその動機付けを受けた。

最初の成果の一つはベゾーの定理であり、ベゾー時間における2変数の2多項式の解の数を制限する。

ベゾーの定理以外では、一般的なアプローチは変数を消去して問題を1変数の単一の方程式に還元することだった。

線形方程式の場合は、クラマー則の古い方法が消去を通じて進行しない場合もあり、方程式の数が変数の数に等しい場合にのみ機能するが、ガウスの消去法により完全に解決された。19世紀には、ヘルミート標準形およびスミス標準形を使用して線形ディオファNTA方程式およびアーベル群に拡張された。

20世紀以前には、結果および様々な種類の判別式を含む、異なる種類の消去子が導入された。一般的に、これらの消去子は様々な変数の変換に対しても不変であり、変数の理論においても基本的である。

これらの概念は、その定義には計算方法を含むため効果的である。約1890年頃、デビッド・ヒルバートは非効果的な方法を導入し、これは革命と見なされ、20世紀前半の多くの代数幾何学者が「消去の消去」を試みた。しかし、ヒルバートのNullstellensatzは、すべての未知数を消去して常数方程式1 = 0を得ることができる場合、かぎりと多項式方程式のシステムには解がないことを主張するため、消去理論に属すると考えられる。

消去理論は、レオポルド・クロネッカーの研究とともに集約され、最終的にはマッカロイが多変数の結果およびU結果を導入し、多項式方程式のシステムに対する完全な消去方法を提供した。これらはファン・デル・ワーケンの「現代代数」の消去理論に関する章（1930年版）に記述されている。

その後、消去理論は時代遅れとされ、後の「現代代数」の版から削除された。コンピュータの導入、特にコンピュータ代数の導入により、効率的な消去アルゴリズムの設計が再び関連するようになり、存在と構造の結果よりも多くの注目を受けた。この消去理論の再興の主な方法は、1970年代に導入されたグロブナー基底および円筒的な代数的分解である。

逻辑との関連
消去理論には、ブール満足性問題における論理的な側面もある。最悪の場合、変数を計算的に消去することは難しいと考えられる。量の消去は、数学の論理において、ある理論においてすべての公式が量のない公式に等価であることを説明する用語である。これは代数的閉域上の多項式の理論であり、消去理論は量の消去をアルゴリズム的に効果的にする方法の理論として見ることができる。実数に対する量の消去もまた、計算代数幾何学において基本的である。

参考文献
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Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
David Cox, John Little, Donal O'Shea, Using Algebraic Geometry. Revised second edition. Graduate Texts in Mathematics, vol. 185. Springer-Verlag, 2005, xii+558 pp., ISBN 978-0-387-20733-9