相互性（ネットワーク科学） - 百科事典

ネットワーク科学において、相互性は、有向ネットワークの頂点が相互にリンクされている可能性を測る指標です。クラスタリング係数やスケールフリーの度分布、コミュニティ構造のように、相互性は複雑なネットワークを研究するために使われる定量的指標です。

準備
実際のネットワーク問題において、人々は、頂点対間に二重リンク（反対方向）が発生する可能性を特定することに興味があります。この問題はいくつかの理由で基本的なものです。まず、情報や物質を輸送するネットワーク（例えば、電子メールネットワーク、ワールド・ワイド・ウェブ（WWW）、世界貿易ウェブ、またはウィキペディア）では、相互リンクが輸送プロセスを促進します。次に、有向ネットワークを分析する際には、単純化のためにしばしば無向ネットワークとして扱われます；したがって、相互性の研究から得られる情報は、有向ネットワークが無向ネットワークとして扱われた際に生じる誤差を推定するのに役立ちます（例えば、クラスタリング係数を測定する際）。最後に、相互性の非平凡なパターンの検出は、観察されたネットワークのトポロジーを形成する可能性のあるメカニズムや組織原理を明らかにすることができます。

定義


= 伝統的定义 =
相互性


r


{\displaystyle r}

の伝統的な定義は、両方向に指しているリンクの数


L

<
−
>
L


{\displaystyle L^{<->}}

を全リンクの数


L


{\displaystyle L}

で割った比を使用することです。


r
=
L

<
−
>
L


{\displaystyle r={\frac {L^{<->}}{L}}}


この定義では、

r
=
1


{\displaystyle r=1}

は純粋に双方向のネットワークであり、

r
=
0


{\displaystyle r=0}

は純粋に一方向のネットワークです。実際のネットワークは0と1の間に位置します。しかし、この相互性の定義にはいくつかの欠点があります。同じ頂点数とエッジ数を持つ純粋にランダムなネットワークと比較して、相互性の相対的な違いを示すことはできません。相互性からの有用な情報は、その値自体ではなく、偶然の期待よりも相互リンクが発生する頻度が高いか低いかです。さらに、自己リンクループを含むネットワークでは、自己リンクループは

L

{\displaystyle L}

の計算から除外されるべきです。



= GarlaschelliとLoffredoの定義 =
上記の定義の欠点を克服するために、GarlaschelliとLoffredoは、有向グラフの隣接行列のエントリ間の相関係数として相互性を定義しました（



a

i

j


{\displaystyle a_{ij}=1}

が

i

j


{\displaystyle i}

から

j

{\displaystyle j}

にリンクがある場合、および



a

i

j


{\displaystyle a_{ij}=0}

がリンクがない場合）：


ρ
≡
∑
i
≠
j

(
a
i
j
−
a
¯
)
(
a
j
i
−
a
¯
)
∑
i
≠
j

(
a
i
j
−
a
¯
)
2


{\displaystyle \rho \equiv {\frac {\sum _{i\neq j}(a_{ij}-{\bar {a}})(a_{ji}-{\bar {a}})}{\sum _{i\neq j}(a_{ij}-{\bar {a}})^{2}}}}

,
ここで、平均値

a
¯


{\displaystyle {\bar {a}}}

は、観察されたリンクと可能なリンクの比（リンク密度）を測定し、自己リンクループは

L

{\displaystyle L}

から除外されています（



i

j


{\displaystyle i}

は



j

{\displaystyle j}

と異なるため）。


a
¯


{\displaystyle {\bar {a}}}

は、観察されたリンクと可能なリンクの比（リンク密度）を測定し、自己リンクループは

L

{\displaystyle L}

から除外されています（



i

j


{\displaystyle i}

は



j

{\displaystyle j}

と異なるため）。

この定義は以下のシンプルな形式で書かれることができます：


ρ
=
r
−
a
¯

1
−
a
¯


{\displaystyle \rho ={\frac {r-{\bar {a}}}{1-{\bar {a}}}}}


相互性の新しい定義は、相互的（



ρ
>
0


{\displaystyle \rho >0}

）と反相互的（



ρ
<
0


{\displaystyle \rho <0}

）のネットワークを区別する絶対量を提供し、ランダムに比べて相互リンクがより多くまたは少なく発生します。すべてのリンクが相互対で発生する場合、



ρ
=
1


{\displaystyle \rho =1}

；



r
=
0


{\displaystyle r=0}

では、



ρ
=
ρ
min


{\displaystyle \rho =\rho _{min}}

。


ρ
min
≡
−
a
¯

1
−
a
¯


{\displaystyle \rho _{min}\equiv {\frac {-{\bar {a}}}{1-{\bar {a}}}}}


これは



ρ


{\displaystyle \rho }

を使用する利点の一つであり、完全な反相互性がネットワークの密度が高い場合には統計的により重要であり、稀なネットワークでは効果が少ないと考えられるという考えを取り入れています。


参考文献