ルカシエヴィチ論理 - 百科事典

数学と哲学において、ルカシェヴィッツ論理（ルーカシェヴィッツ論理、ポーランド語：[wukaˈɕɛvitʂ]）は、非古典的、多値の論理です。それはもともと20世紀初頭にヤン・ルカシェヴィッツによって三値のモーダル論理として定義されましたが、後にn値（すべての有限のnに対して）および無限の値（ℵ0値）の変種（命題と一階の両方）に一般化されました。ℵ0値のバージョンは1930年にルカシェヴィッツとアルフレッド・タルスキによって出版され、その結果、時にはルカシェヴィッツ・タルスキ論理と呼ばれます。それはt-norm不確実論理および次構造論理のクラスに属します。

ルカシェヴィッツ論理は、アリストテレスが二値論理が将来の偶然に適用できないと提案したことから、動機付けされました。たとえば、「明日には海戦がある」という声明は、未来の声明が真か偽かではなく、中間の値が割り当てられ、将来に真になる可能性を表現するかもしれません。

この記事は、ルカシェヴィッツ（–タルスキ）論理をその完全な一般性として、すなわち無限値論理として提示します。三値インスタンスŁ3に対する基本的な導入については、三値論理を参照してください。

言語
ルカシェヴィッツ論理の命題接続子は次の通りです：

- 識別子：→ ("含意")
- 常数：⊥ ("偽")

これらの接続子を基に、追加の接続子を定義できます：

- ¬A = A → ⊥
- A ∨ B = (A → B) → B
- A ∧ B = ¬(¬A ∨ ¬B)
- A ↔ B = (A → B) ∧ (B → A)
- ⊤ = ⊥ → ⊥

そして、次のように定義されています：

- ∨（和）および ∧（積）接続子は弱い分離と結合と呼ばれ、排除法則が成り立たないため非古典的です。次構造論理の文脈では、これらは加法的接続子と呼ばれます。これらはまた、格子の最小/最大接続子に対応します。

次構造論理の文脈では、強いまたは乗法的分離および結合接続子もありますが、これらはルカシェヴィッツのオリジナルの提示には含まれていません：

- A ⊕ B = ¬A → B
- A ⊗ B = ¬(A → ¬B)

モーダル演算子も定義されています：

- ◊A = ¬A → A
- ◻A = ¬◊¬A

命題
原初の命題無限値ルカシェヴィッツ論理の体系は、命題の原始的な接続子として含意と否定を使用し、モードポンエンスを含む体系でした：

- A → (B → A)
- (A → B) → ((B → C) → (A → C))
- ((A → B) → B) → ((B → A) → A)
- (¬B → ¬A) → (A → B).

命題無限値ルカシェヴィッツ論理は、モノイドt-norm論理の体系に次の命題を追加することでも定義できます：

- 分割可能性
- 双重否定

これにより、無限値ルカシェヴィッツ論理は基本的な不確実論理（BL）に双重否定の命題を追加することで、または論理IMTLに分割可能性の命題を追加することで生じます。有限値ルカシェヴィッツ論理には追加の命題が必要です。

論理的証明理論
三値ルカシェヴィッツ論理のための超従手則は1991年にアーノン・アヴロンによって導入されました。有限および無限値ルカシェヴィッツ論理のための従手則は1994年にA. Prijateljによって線形論理の拡張として導入されましたが、これらはカットフリーのシステムではありません。ルカシェヴィッツ論理のための超従手則は1999年にA. Ciabattoniらによって導入されましたが、これらはn > 3の有限値論理ではカットフリーではありません。ラベル付きテーブルシステムは2003年にニコラ・オリヴェッティによって導入されました。無限値ルカシェヴィッツ論理のための超従手則は2004年にジョージ・メトカフによって導入されました。

実数値语义
無限値ルカシェヴィッツ論理は、述語演算の文が0または1以外の実数（例えば0.25）の真値を割り当てられる実数値論理です。評価は再帰的な定義で次のように行われます：

- w(θ ∘ ϕ) = F ∘ (w(θ), w(ϕ))
- w(¬θ) = F ¬ (w(θ))
- w(0) = 0
- w(1) = 1

そして、次のように定義されています：

- 含意：F → (x, y) = min {1, 1 - x + y}
- 等価：F ↔ (x, y) = 1 - |x - y|
- 否定：F ¬ (x) = 1 - x
- 強い結合：F ∧ (x, y) = min {x, y}
- 強い分離：F ∨ (x, y) = max {x, y}
- 強い結合：F ⊗ (x, y) = max {0, x + y - 1}
- 強い分離：F ⊕ (x, y) = min {1, x + y}
- モーダル関数：F ◊ (x) = min {1, 2x}, F ◻ (x) = max {0, 2x - 1}

強い結合の真値関数F ⊗はルカシェヴィッツt-normであり、強い分離の真値関数F ⊕はその対 dual t-conormです。明らかに、F ⊗(0.5, 0.5) = 0であり、F ⊕(0.5, 0.5) = 1ですので、T(p) = 0.5の場合、T(p ∧ p) = T(¬p ∧ ¬p) = 0であり、一方で相当する論理的に等価な命题はT(p ∨ p) = T(¬p ∨ ¬p) = 1です。基本接続子のすべての真値関数は連続的です。

定義により、公式が無限値ルカシェヴィッツ論理の重言法である場合、述語変数が[0, 1]の実数で評価されるすべての評価に対して1になる必要があります。

有限値および可数値语义
実数値 semanticに対して完全に同じ評価公式を使用して、ルカシェヴィッツ（1922）は次の有限集合の大きさがn ≥ 2である任意の有限集合上の semanticを（同型関係によって）定義しました：

- {0, 1/(n − 1), 2/(n − 1), ..., 1}
- 任意の可数集合は、次のようにドメインを選択することで選択されます：{p/q | 0 ≤ p ≤ q であり、pは非負整数であり、qは正整数}。

一般的な代数的semantic
ルカシェヴィッツt-normによって決定される標準的な実数値semanticは、ルカシェヴィッツ論理の唯一のsemanticではありません。命題無限値ルカシェヴィッツ論理の一般的な代数的semanticはすべてのMV-代数のクラスから形成されます。標準的な実数値semanticは、標準的なMV-代数と呼ばれる特別なMV-代数です。

他のt-norm不確実論理と同様に、命題無限値ルカシェヴィッツ論理は、論理が正当であるすべての代数のクラスに対して完全性を楽しみます（すなわち、MV-代数）。これは一般的な、線形の、および標準の完全性定理によって表現されます：

次の条件は等価です：

- Aは命題無限値ルカシェヴィッツ論理で可証
- AはすべてのMV-代数で有効（一般的な完全性）
- Aはすべての線形順序されたMV-代数で有効（線形完全性）
- Aは標準的なMV-代数で有効（標準的完全性）

ここで、有効とは必ず1になることを意味します。

Font、Rodriguez、およびTorrensは1984年にWajsberg代数を無限値ルカシェヴィッツ論理の代替モデルとして導入しました。1940年代にGrigore Moisilがそのルカシェヴィッツ・モイシル（LM）代数（Moisilがルカシェヴィッツ代数と呼んだ）を用いてn値ルカシェヴィッツ論理に対する代数的semanticを提供しようとする試みは、n ≥ 5に対して誤ったモデルであることが判明しました。この問題は1956年にAlan Roseによって公表されました。C. C. ChangのMV-代数は、ℵ0値（無限の値）のルカシェヴィッツ・タルスキ論理のモデルであり、1958年に出版されました。より複雑な命題的（有限の）n値ルカシェヴィッツ論理に対して、適切な代数は1977年にRevaz Grigoliaによって出版され、MVn-代数と呼ばれました。MVn-代数はLMn-代数の亜集合であり、n ≥ 5に対して包含関係は厳しいです。1982年にRoberto CignoliはLMn-代数に追加される追加の制約をいくつか出版し、その発見を正しいルカシェヴィッツ代数と呼びました。

複雑さ
ルカシェヴィッツ論理はco-NP完全です。

モーダル論理
ルカシェヴィッツ論理はモーダル論理として見ることができます、それは可能性を取り扱う論理であり、定義された演算子を使用します：

- ◊A = ¬A → A
- ◻A = ¬◊¬A

第三の疑問的な演算子が提案されました：

- ⊙A = A ↔ ¬A

これらから、多くのモーダル論理で一般的な命