抽象代数学の分野である純数学の一部、MV代数は、二元運算 ⊕、一元運算 ¬、および定数 0 が特定の公準を満たす代数的構造です。MV代数は、ルカシェヴィチ論理の代数的意味論であり、MVはルカシェヴィチの多値論理を指します。MV代数は、境界付き commutative BCK代数のクラスと一致します。
定義
MV代数は以下の構造を持ちます：
- 非空集合 A
- A 上の二元運算 ⊕
- A 上の一元運算 ¬
- A 上の定数 0
- 以下の恒等式を満たす：
- (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z)
- x ⊕ 0 = x
- x ⊕ y = y ⊕ x
- ¬¬x = x
- x ⊕ ¬0 = ¬0
- ¬(¬x ⊕ y) ⊕ y = ¬(¬y ⊕ x) ⊕ x
この3つの公準により、<A, ⊕, 0> は commutative monoid です。恒等式によって定義されるため、MV代数は代数の種類の一つです。MV代数の種類はBL代数の種類の亜種であり、全ての Boolean 代数を含みます。
MV代数は以下のように同価に定義できます（Hájek 1998）：
- <L, ∧, ∨, ⊗, →, 0, 1>
- 恒等式 x ∨ y = (x → y) → y が満たされる
MV代数の例
シンプルな数値的な例は以下の通りです：
- A = [0, 1]
- x ⊕ y = min(x + y, 1)
- ¬x = 1 - x
数学的模糊論理において、このMV代数は標準的なMV代数と呼ばれ、ルカシェヴィチ論理の標準的な実値意味論を形成します。
単純なMV代数は、唯一の要素 0 と、唯一の方法で定義された運算を持っており、以下の通りです：
- 0 ⊕ 0 = 0
- ¬0 = 0
二要素のMV代数は、実際には二要素のBoolean代数であり、⊕はBoolean析取、¬はBoolean否定と一致します。実際、MV代数の定義に以下の公準を追加することで、Boolean代数の公準の形式化が得られます。
- x ⊕ x = x
さらに、x ⊕ x ⊕ x = x ⊕ x という公準を追加することで、三値のルカシェヴィチ論理Ł3に対応するMV3代数を定義します。他の有限線形順序のMV代数は、標準的なMV代数の宇宙と運算を0と1の間に等間隔に配置されたn個の実数の集合に制限することで得られます（両端を含む）；これらの代数は通常 MVn と表されます。
もう一つの重要な例は、無限小数（順序型 ω）とその共無限小数を持つ張のMV代数です。張は、任意の完全に順序付けられたアーベル群 G から、正の要素 u を固定して、区間 [0, u] を { x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u } として定義することでMV代数を構築しました。これにより、x ⊕ y = min(u, x + y) と ¬x = u - x が得られます。さらに、張は全ての線形順序されたMV代数がこの方法で群から構築されたMV代数と同型であることを示しました。
Daniele Mundiciは、上記の構築をアーベル順序群に拡張しました。G が強い（順序）ユニットを持つようなそのような群であれば、ユニット区間 { x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u } には ¬x = u - x、x ⊕ y = u ∧G (x + y)、x ⊗ y = 0 ∨G (x + y - u) と付与できます。この構築は、順序付きアーベル群とMV代数の間のカテゴリ的等価性を確立します。
順序付きでリッセ分解性を持つ効果代数はMV代数です。逆に、どんなMV代数もリッセ分解性を持つ順序付き効果代数です。
ルカシェヴィチ論理との関係
C. C. Changは、1920年にヨハン・ルカシェヴィチによって提案された多値論理を研究するためにMV代数を導入しました。特に、以下のように説明されるように、MV代数はルカシェヴィチ論理の代数的意味論を形成します。
MV代数 A に対して、A評価は、命题公式の代数（⊕、¬、0を含む言語で構成される）から A に到達する同型関数です。すべての A評価で 1（すなわち ¬0）にマッピングされる公式は Aの恒真式と呼ばれます。標準的なMV代数 [0,1] 上で標準的なMV代数を使用すると、すべての [0,1] 恒真式の集合が無限値のルカシェヴィチ論理を決定します。
チャングの（1958、1959）完全性定理は、間隔 [0,1] 上の標準的なMV代数で成立するMV代数の方程式はすべてのMV代数で成立することを述べています。代数的には、これは標準的なMV代数がすべてのMV代数の種類を生成することを意味します。同価に、チャングの完全性定理は、MV代数が無限値のルカシェヴィチ論理を表現することを述べています。
[0,1] MV代数がすべての可能なMV代数を表現する方法は、二要素のBoolean代数で恒等式が成立するすべてのBoolean代数が存在することと並行しています。さらに、MV代数はBoolean代数が古典的二値論理を表現する方法と類似して、無限値のルカシェヴィチ論理を表現します。
1984年に、Font、Rodriguez、Torrensは、無限値のルカシェヴィチ論理のための代替モデルとしてWajsberg代数を導入しました。Wajsberg代数とMV代数は項的に等価です。
= MVn代数 =
1940年代に、Grigore Moisilは、（有限）n値のルカシェヴィチ論理のための代数的意味論を提供するために、彼のルカシェヴィチ・モイシル代数（LMn代数）を提案しました。しかし、1956年にAlan Roseが発見しましたように、n ≥ 5の場合、ルカシェヴィチ・モイシル代数はルカシェヴィチn値論理をモデル化しません。C. C. Changは1958年にMV代数を発表しましたが、それはℵ0値（無限多値）のルカシェヴィチ・タルスキ論理に対する忠実なモデルのみです。より複雑な公準を持つ（有限）n値のルカシェヴィチ論理に対して、1977年にRevaz Grigoliaによって適切な代数が発表され、MVn代数と呼ばれました。MVn代数はLMn代数の亜集合であり、n ≥ 5の場合、包含関係は厳しいです。
MVn代数は、n値のルカシェヴィチ論理に対して追加の公準を満たすMV代数です。1982年に、Roberto CignoliはLMn代数に追加の制約を発表し、これによりn値のルカシェヴィチ論理のための適切なモデルが得られました。Cignoliは彼の発見を適切なn値ルカシェヴィチ代数と呼びました。Cignoliの適切なn値ルカシェヴィチ代数は、同時にMVn代数であるLMn代数です。
機能解析との関係
Daniele Mundiciは、格子順序群と可数MV代数の同型クラスの間に双対対応を確立することで、約束された有限次C*-代数と関係付けました。
ソフトウェア
多くのフレームワークが模糊論理（タイプII）を実装しており、その多くは多重共役論理と呼ばれるものを実装しています。これは、MV代数の実装に過ぎません。
参考文献
- Chang, C. C. (1958) "Algebraic analysis of many-valued logics," Transactions of the American Mathematical Society 88: 476–490.
- ------ (1959) "A new proof of the completeness of the Lukasiewicz axioms," Transactions of the American Mathematical Society 88: 74–80.
- Cignoli, R. L. O., D'Ottaviano, I. M. L., Mundici, D. (2000) Algebraic Foundations of Many-valued Reasoning. Kluwer.
- Di Nola A., Lettieri A. (1993) "Equational characterization of all varieties of MV-algebras," Journal of Algebra 221: 463–474 doi:10.1006/jabr.1999.7900.
- Hájek, Petr (1998) Metamathematics of Fuzzy Logic. Kluwer.
- Mundici, D.: Interpretation of AF C*-algebras in Łukasiewicz sentential calculus. J. Funct. Anal. 65, 15–63 (1986) doi:10.1016/0022-1236(86)90015-7
参考文献の詳細
- Daniele Mundici, MV-ALGEBRAS. A short tutorial
- D. Mundici (2011). Advanced Łukasiewicz calculus and MV-algebras. Springer. ISBN 978-94-007-0839-6.
- Mundici, D. The C*-Algebras of Three-Valued Logic. Logic Colloquium '88, Proceedings of the Colloquium held in Padova 61–77 (1989). doi:10.1016/s0049-237x(08)70262-3
- Cabrer, L. M. & Mundici, D. A Stone-Weierstrass theorem for MV-algebras and unital ℓ-groups. Journal of Logic and Computation (2014). doi:10.1093/logcom/exu023
- Olivia Caramello, Anna Carla Russo (2014) The Morita-equivalence between MV-algebras and abelian ℓ-groups with strong unit
外部リンク
Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Many-valued logic"—by Siegfried Gottwald.