多項式方程式のシステム - 百科事典

多项式方程式のシステム（時には単に多項式システムと呼ばれる）は、fiがいくつかの変数x1、...、xnに関する多項式で、あるフィールドk上で定義される同時方程式f1 = 0、...、fh = 0の集合です。

多項式システムの解は、kの代数的に閉じた拡張Kに属するxiの値の集合であり、すべての方程式が真であるとされる。kが有理数のフィールドである場合、Kは一般的に複素数のフィールドと仮定される、なぜならば、各解はkの拡張フィールドに属し、それは複素数の亜集合と同型であるからです。

この記事は、解をすべて見つけるための方法やそれを記述する方法についてのものです。これらの方法はコンピュータに実装されるように設計されているため、計算（平等テストを含む）が簡単で効率的なフィールドkに焦点を当てています。これには、有理数のフィールドと有限フィールドが含まれます。

特定の集合に属する解を探すことは、一般的にもっと難しい問題であり、この記事の範囲外です。ただし、有限フィールド内の解のケースは除いています。すべての成分が整数または有理数である解のケースについては、ディオファntイン方程式を参照してください。

定義

多項式方程式のシステムの単純な例は以下の通りです：

x² + y² - 5 = 0
xy - 2 = 0

これらの解は、(x, y) = (1, 2)、(2, 1)、(-1, -2)、(-2, -1)の4つのペアです。これらの解は容易に代入で確認できますが、他に解があることを証明するにはさらに作業が必要です。

この記事の主題は、このような例の一般化の研究と、解を計算するために使用される方法の記述です。多項式方程式のシステムは、各fhが不定式x1、...、xmに関する多項式であり、整数の係数またはある固定フィールドの係数を持つ集合です。他の係数のフィールド、例えば実数、は非常に稀に使用されますが、その要素はコンピュータで表現できません（計算では実数の近似を使用し、これらの近似は常に有理数です）。

多項式方程式のシステムの解は、(x1, ..., xm)の値のタプルであり、多項式方程式のシステムのすべての方程式を満たします。解は複素数またはもっと一般的に係数を含む代数的に閉じたフィールドで探されます。特に、特異性ゼロの場合、すべての複素数の解が探されます。実数または有理数の解を見つけることは、もっと難しい問題であり、この記事では考慮されていません。

解の集合は常に有限ではありません。例えば、以下のシステムの解は点(x, y) = (1, 1)と線x = 0です。

x(x - 1) = 0
x(y - 1) = 0

解の集合が有限である場合でも、一般には解の閉形式の表現はありません（単一の方程式の場合、これはアベル・ルフィニ定理です）。

図に示されるBarth曲面は、3変数の6次方程式に還元された多項式システムの解の幾何的な表現です。その多くの奇点の一部は画像上に見られます。これらは3変数の5次方程式のシステムの解です。このような過剰決定システムは一般には解がない（すなわち係数が特定でない場合）、または有限数の解を持つ場合でも、その数はベズーの定理により最終的には53 = 125に限られます。しかし、曲面の奇点のケースにおいて、解の最大数は65であり、Barth曲面で達成されることが示されています。

基本的な性質と定義

方程式の数が変数の数よりも多い場合、システムは過剰決定システムと呼ばれます。方程式が複素数（または係数が複素数でない場合、係数を含む代数的に閉じたフィールド）に属する複素数の解を持たない場合、システムは不一致システムと呼ばれます。ヒルベルトの Nullstellensatzによって、これは1が方程式の最初のメンバーに関する多項式係数の線形結合であることを意味します。ランダムな係数で構成された過剰決定システムのほとんどは不一致ですが、すべての過剰決定システムは不一致であるとは限りません。例えば、x³ - 1 = 0、x² - 1 = 0のシステムは過剰決定（2つの方程式があるが、1つの未知数があるだけ）ですが、解x = 1を持っているため、不一致ではありません。

方程式の数が変数の数よりも少ない場合、システムは未決定システムと呼ばれます。未決定システムは不一致または無限に多くの複素数の解（または係数を含む代数的に閉じたフィールド内の解）を持つとされています。これは、特にヒルベルトの Nullstellensatzとクルルの主要理想定理に関連する、交換代数の非平凡な結果です。

システムが有限数の複素数の解（または代数的に閉じたフィールド内の解）を持つ場合、そのシステムは零次元システムと呼ばれます。この用語は、解の代数的な集合の次元が零であるという事実に由来しています。無限に多くの解を持つシステムは、正次元システムと呼ばれます。

方程式の数と変数の数が同じ場合、零次元システムはしばしば良好な振る舞いと呼