Capacidad cuántica - Enciclopedia
En la teoría de la comunicación cuántica, la capacidad cuántica es la tasa más alta a la que se puede comunicar información cuántica a través de muchos usos independientes de un canal cuántico ruidoso desde un emisor a un receptor. También es igual a la tasa más alta a la que se puede generar entrelazamiento a través del canal, y la comunicación clásica no puede mejorarla. El teorema de capacidad cuántica es importante para la teoría de la corrección de errores cuántica, y más ampliamente para la teoría de la computación cuántica. El teorema que proporciona un límite inferior sobre la capacidad cuántica de cualquier canal se conoce coloquialmente como el teorema LSD, en honor a los autores Lloyd, Shor y Devetak, quienes lo probaron con estándares de rigor cada vez más elevados.
Límite de hashing para los canales Pauli
El teorema LSD establece que la información coherente de un canal cuántico es una tasa alcanzable para la comunicación cuántica confiable. Para un canal Pauli, la información coherente tiene una forma simple y la prueba de que es alcanzable es particularmente sencilla. Demostramos el teorema para este caso especial aprovechando los códigos de estabilizador aleatorios y corrigiendo solo los errores probables que produce el canal.
Teorema (límite de hashing). Existe un código de corrección de errores cuánticos de estabilizador que alcanza el límite de hashing
R
=
1
−
H
(
p
)
{\displaystyle R=1-H\left(\mathbf {p} \right)}
para un canal Pauli de la siguiente forma:
ρ
↦
p
I
ρ
+
p
X
X
ρ
X
+
p
Y
Y
ρ
Y
+
p
Z
Z
ρ
Z
,
{\displaystyle \rho \mapsto p_{I}\rho +p_{X}X\rho X+p_{Y}Y\rho Y+p_{Z}Z\rho Z,}
donde
p
=
(
p
I
,
p
X
,
p
Y
,
p
Z
)
{
}
{\displaystyle \mathbf {p} =\left(p_{I},p_{X},p_{Y},p_{Z}\right)}
y
H
(
p
)
{\displaystyle H\left(\mathbf {p} \right)}
es la entropía de este vector de probabilidad.
Prueba. Considere la corrección solo de los errores típicos. Es decir, considere definir el
conjunto típicos de errores como sigue:
T
δ
p
n
≡
{
a
n
:
|
−
1
n
|
log
2
(
Pr
{
E
a
n
}
)
−
H
(
p
)
|
≤
δ
}
,
{\displaystyle T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\equiv \left\{a^{n}:\left\vert -{\frac {1}{n}}\log _{2}\left(\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\right)-H\left(\mathbf {p} \right)\right\vert \leq \delta \right\},}
donde
a
n
{
}
{\displaystyle a^{n}}
es alguna secuencia que consiste en las letras
{
I
,
X
,
Y
,
Z
}
{
}
{\displaystyle \left\{I,X,Y,Z\right\}}
y
Pr
{
E
a
n
}
{
}
{\displaystyle \Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}}
es la probabilidad de que un canal Pauli IIID emita algún error tensorial
E
a
n
≡
E
a
1
⊗
⋯
⊗
E
a
n
{
}
{\displaystyle E_{a^{n}}\equiv E_{a_{1}}\otimes \cdots \otimes E_{a_{n}}}
. Este conjunto típico consta de errores probables en el sentido de que
∑
a
n
∈
T
δ
p
n
Pr
{
E
a
n
}
{
}
{\displaystyle \sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}}
≥
1
−
ϵ
,
{\displaystyle \geq 1-\epsilon ,}
para todos
ϵ
>
0
{
}
{\displaystyle \epsilon >0}
y
n
{
}
{\displaystyle n}
suficientemente grandes. Las condiciones de corrección de errores para un código de estabilizador
S
{
}
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
en este caso son que
{
E
a
n
}
:
a
n
∈
T
δ
p
n
{
}
{\displaystyle \{E_{a^{n}}:a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\}}
es un conjunto de errores corregibles si
E
a
n
†
E
b
n
∉
N
(
S
{
}
)
∖
S
{
}
{
}
{\displaystyle E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\notin N\left({\mathcal {S}}\right)\backslash {\mathcal {S}}}
para todos los pares de errores
E
a
n
{
}
{\displaystyle E_{a^{n}}}
y
E
b
n
{
}
{\displaystyle E_{b^{n}}}
tales que
a
n
,
b
n
∈
T
δ
p
n
{
}
{\displaystyle a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}
donde
N
(
S
{
}
)
{
}
{\displaystyle N\left({\mathcal {S}}\right)}
es el normalizador de
S
{
}
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
. Además, consideramos la expectativa de la probabilidad de error bajo una elección aleatoria de un código de estabilizador.
Procedemos de la siguiente manera:
=
E
S
{
}
{
p
e
}
{
}
=
E
S
{
}
{
∑
a
n
}
Pr
{
E
a
n
}
I
{
E
a
n
:
E
a
n
es incorrect