Lógica de Łukasiewicz - Enciclopedia

En matemáticas y filosofía, la lógica de Łukasiewicz (WUUK-ə-SHEV-itch, en polaco: [wukaˈɕɛvitʂ]) es una lógica no clásica, de muchos valores. Originalmente se definió a principios del siglo XX por Jan Łukasiewicz como una lógica modal de tres valores; más tarde se generalizó a variantes de n valores (para todos los enteros finitos) y de valores infinitos (ℵ0-valores), tanto proposicionales como de primer orden. La versión de ℵ0-valores fue publicada en 1930 por Łukasiewicz y Alfred Tarski; por lo tanto, a veces se la llama lógica de Łukasiewicz–Tarski. Pertenece a las clases de lógicas borrosas de t-norm y lógicas subestructurales.

La lógica de Łukasiewicz se motivó por la sugerencia de Aristóteles de que la lógica bivalente no era aplicable a contingencias futuras, por ejemplo, la afirmación "Habrá una batalla naval mañana". En otras palabras, las afirmaciones sobre el futuro ni eran verdaderas ni falsas, sino que se podía asignarles un valor intermedio para representar su posibilidad de volverse verdaderas en el futuro.

Este artículo presenta la lógica de Łukasiewicz (–Tarski) en su plena generalidad, es decir, como una lógica de valores infinitos. Para una introducción elemental a la instanciación de tres valores L3, véase la lógica de tres valores.

Lenguaje
Los conectivos proposicionales de la lógica de Łukasiewicz son:



→


("implicación"), y el constante


⊥


("falso"). Otros conectivos se pueden definir en términos de estos:








¬
A




=

d
e
f


A
→
⊥




A
∨
B




=

d
e
f


(
A
→
B
)
→
B




A
∧
B




=

d
e
f


¬
(
¬
A
∨
¬
B
)




A
↔
B




=

d
e
f


(
A
→
B
)
∧
(
B
→
A
)




⊤




=

d
e
f


⊥
→
⊥






{\displaystyle {\begin{aligned}\neg A&=_{def}A\rightarrow \bot \\A\vee B&=_{def}(A\rightarrow B)\rightarrow B\\A\wedge B&=_{def}\neg (\neg A\vee \neg B)\\A\leftrightarrow B&=_{def}(A\rightarrow B)\wedge (B\rightarrow A)\\\top &=_{def}\bot \rightarrow \bot \end{aligned}}}


Los conectivos


∨


y


∧


se llaman disyunción débil y conjunción débil, porque no son clásicos, ya que la ley del tercio excluido no se cumple para ellos. En el contexto de las lógicas subestructurales, se les llama conectivos aditivos. También corresponden a conectivos min/max de un ordenamiento.

En términos de lógicas subestructurales, también hay conectivos de disyunción y conjunción fuertes o multiplicativos, aunque estos no forman parte de la presentación original de Łukasiewicz:








A
⊕
B




=

d
e
f


¬
A
→
B




A
⊗
B




=

d
e
f


¬
(
A
→
¬
B
)






{\displaystyle {\begin{aligned}A\oplus B&=_{def}\neg A\rightarrow B\\A\otimes B&=_{def}\neg (A\rightarrow \neg B)\end{aligned}}}


También se definen operadores modales, utilizando la Möglichkeit de Tarski:








◊
A




=

d
e
f


¬
A
→
A




◻
A




=

d
e
f


¬
◊
¬
A






{\displaystyle {\begin{aligned}\Diamond A&=_{def}\neg A\rightarrow A\\\Box A&=_{def}\neg \Diamond \neg A\\\end{aligned}}}



Axiomas

El sistema original de axiomas para la lógica proposicional de valores infinitos de Łukasiewicz utilizaba la implicación y la negación como conectivos primitivos, junto con el modus ponens:








A



→
(
B
→
A
)




(
A
→
B
)



→
(
(
B
→
C
)
→
(
A
→
C
)
)




(
(
A
→
B
)
→
B
)



→
(
(
B
→
A
)
→
A
)




(
¬
B
→
¬
A
)



→
(
A
→
B
)
.






{\displaystyle {\begin{aligned}A&\rightarrow (B\rightarrow A)\\(A\rightarrow B)&\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow C))\\((A\rightarrow B)\rightarrow B)&\rightarrow ((B\rightarrow A)\rightarrow A)\\(\neg B\rightarrow \neg A)&\rightarrow (A\rightarrow B).\end{aligned}}}


La lógica proposicional de valores infinitos de Łukasiewicz también puede axiomatizarse añadiendo los siguientes axiomas al sistema axiomatizado de lógica monoidal de t-norm:

Divisibilidad




(
A
∧
B
)
→
(
A
⊗
(
A
→
B
)
)


{\displaystyle (A\wedge B)\rightarrow (A\otimes (A\rightarrow B))}


Negación doble




¬
¬
A
→
A
.


{\displaystyle \neg \neg A\rightarrow A.}


Es decir, la lógica de valores infinitos de Łukasiewicz surge añadiendo el axioma de la negación doble a la lógica borrosa básica (BL), o añadiendo el axioma de divisibilidad a la lógica IMTL. Las lógicas de valores finitos de Łukasiewicz requieren axiomas adicionales.


Teoría de la demostración

Se introdujo un cálculo hiposecuencial para la lógica de Łukasiewicz de tres valores por Arnon Avron en 1991.
Se introdujeron cálculos de secuencia para lógicas de valores finitos e infinitos de Łukasiewicz como extensión de la lógica lineal por A. Prijatelj en 1994. Sin embargo, estos no son sistemas sin cortes.
Se introdujeron cálculos hiposecuenciales para lógicas de Łukasiewicz por A. Ciabattoni et al. en 1999. Sin embargo, estos no son sin cortes para valores finitos superiores a 3.
Se introdujo un sistema de tableros etiquetados por Nicola Olivetti en 2003.
Se introdujo un cálculo hiposecuencial para la lógica de valores infinitos de Łukasiewicz por George Metcalfe en 2004.


Semántica de valores reales
La lógica de valores infinitos de Łukasiewicz es una lógica de valores reales en la que las frases del cálculo proposicional pueden asignarse un valor de verdad no solo 0 o 1, sino también cualquier número real entre ellos (por ejemplo, 0.25). Las evaluaciones tienen una definición recursiva donde:




w
(
θ
∘
ϕ
)
=

F

∘


(
w
(
θ
)
,
w
(
ϕ
)
)


{\displaystyle w(\theta \circ \phi )=F_{\circ }(w(\theta ),w(\phi ))}

para un conectivo binario


∘
,


{\displaystyle \circ ,}





w
(
¬
θ
)
=

F

¬


(
w
(
θ
)
)
,


{\displaystyle w(\neg \theta )=F_{\neg }(w(\theta )),}





w

(


0
¯


)

=
0


{\displaystyle w\left({\overline {0}}\right)=0}

y


w

(


1
¯


)

=
1
,


{\displaystyle w\left({\overline {1}}\right)=1,}


y donde las definiciones de las operaciones son como sigue:

Implicación:


F
→
(
x
,
y
)
=
min
{
1
,
1
−
x
+
y
}


{\displaystyle F_{\rightarrow }(x,y)=\min\{1,1-x+y\}}


Equivalencia:


F
↔
(
x
,
y
)
=
1
−

|

x
−
y

|



{\displaystyle F_{\leftrightarrow }(x,y)=1-|x-y|}


Negación:


F
¬
(
x
)
=
1
−
x


{\displaystyle F_{\neg }(x)=1-x}


Conjunción débil:


F
∧
(
x
,
y
)
=
min
{
x
,
y
}


{\displaystyle F_{\wedge }(x