Detección por sensores comprimidos - Enciclopedia

La sensado comprimido (también conocido como sensado comprimido, muestreo comprimido o muestreo esparso) es una técnica de procesamiento de señales para adquirir y reconstruir eficientemente una señal encontrando soluciones a sistemas lineales indeterminados. Esto se basa en el principio de que, a través de la optimización, la esparsity de una señal puede ser explotada para recuperarla desde una cantidad mucho menor de muestras de las requeridas por el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon. Hay dos condiciones bajo las cuales la recuperación es posible. La primera es la esparsity, que requiere que la señal sea esparsa en alguna dimensión. La segunda es la incoherencia, que se aplica a través de la propiedad isométrica, que es suficiente para señales esparsas. La sensado comprimido tiene aplicaciones, por ejemplo, en la imagen por resonancia magnética (MRI), donde la condición de incoherencia se cumple típicamente.

Resumen
Un objetivo común del campo de ingeniería del procesamiento de señales es reconstruir una señal a partir de una serie de mediciones de muestreo. En general, esta tarea es imposible porque no hay manera de reconstruir una señal durante los momentos en que no se muestrea. Sin embargo, con conocimientos previos o suposiciones sobre la señal, resulta posible reconstruir perfectamente una señal a partir de una serie de mediciones (la adquisición de esta serie de mediciones se denomina muestreo). Con el tiempo, los ingenieros han mejorado su comprensión de qué suposiciones son prácticas y cómo pueden generalizarse.

Un hito temprano en el procesamiento de señales fue el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon. Este establece que si la frecuencia máxima de una señal real es menor de la mitad de la tasa de muestreo, entonces la señal se puede reconstruir perfectamente mediante interpolación de sinc. La idea principal es que con conocimientos previos sobre las restricciones de las frecuencias de la señal, se necesitan menos muestras para reconstruir la señal. Aproximadamente en 2004, Emmanuel Candès, Justin Romberg, Terence Tao y David Donoho probaron que, dado el conocimiento sobre la esparsity de una señal, la señal se puede reconstruir con incluso menos muestras de las requeridas por el teorema de muestreo. Esta idea es la base de la sensado comprimido.

Historia
La sensado comprimido se basa en técnicas del tipo \( L^1 \), que otros campos científicos han utilizado históricamente. En estadística, el método de mínimos cuadrados fue complementado por la norma \( L^1 \), que fue introducida por Laplace. Después de la introducción del programación lineal y el algoritmo simplex de Dantzig, la norma \( L^1 \) se utilizó en la estadística computacional. En la teoría estadística, la norma \( L^1 \) se utilizó por George W. Brown y más tarde por autores sobre estimadores mediana-independientes. Fue utilizada por Peter J. Huber y otros que trabajaban en estadística robusta. La norma \( L^1 \) también se utilizó en el procesamiento de señales, por ejemplo, en los años 1970, cuando los sismólogos construyeron imágenes de capas reflectantes dentro de la Tierra basándose en datos que no parecían satisfacer el criterio de muestreo de Nyquist-Shannon. Se utilizó en la búsqueda de coincidencia en 1993, el estimador LASSO por Robert Tibshirani en 1996 y la búsqueda de base en 1998.

A primera vista, la sensado comprimido podría parecer que viola el teorema de muestreo, ya que depende de la esparsity de la señal en cuestión y no de su frecuencia máxima. Esta es una equivocación, ya que el teorema de muestreo garantiza la reconstrucción perfecta bajo condiciones suficientes, no necesarias. Un método de muestreo fundamentalmente diferente del muestreo fijo de tasa no puede "violar" el teorema de muestreo. Las señales esparsas con componentes de alta frecuencia pueden ser altamente submuestreadas utilizando la sensado comprimido en comparación con el muestreo fijo de tasa.

Método
= Sistema lineal indeterminado =
Un sistema lineal indeterminado tiene más incógnitas que ecuaciones y generalmente tiene un número infinito de soluciones. La figura siguiente muestra un sistema de ecuaciones