Teoría de la eliminación - Enciclopedia

En la álgebra conmutativa y la geometría algebraica, la teoría de la eliminación es el nombre clásico de los enfoques algorítmicos para eliminar algunas variables entre polinomios de varias variables, con el fin de resolver sistemas de ecuaciones polinómicas.

La teoría de la eliminación clásica culminó con el trabajo de Francis Macaulay sobre los resultantes multivariantes, como se describe en el capítulo sobre Teoría de la eliminación en las primeras ediciones (1930) de la Moderna Algebra de Bartel van der Waerden. Después de eso, la teoría de la eliminación fue ignorada por la mayoría de los geométricos algebraicos durante casi treinta años, hasta la introducción de nuevos métodos para resolver ecuaciones polinómicas, como las bases de Gröbner, necesarias para la álgebra computacional.


Historia y conexión con las teorías modernas
El campo de la teoría de la eliminación fue motivado por la necesidad de métodos para resolver sistemas de ecuaciones polinómicas.

Uno de los primeros resultados fue el teorema de Bézout, que limita el número de soluciones (en el caso de dos polinomios en dos variables en el tiempo de Bézout). Salvo el teorema de Bézout, el enfoque general consistía en eliminar variables para reducir el problema a una única ecuación en una variable.

El caso de las ecuaciones lineales fue resuelto completamente por la eliminación gaussiana, donde el método más antiguo de la regla de Cramer no procede por eliminación y solo funciona cuando el número de ecuaciones es igual al número de variables. En el siglo XIX, esto se extendió a las ecuaciones diofánticas lineales y al grupo abeliano con la forma normal de Hermite y la forma normal de Smith.

Antes del siglo XX, se introdujeron diferentes tipos de eliminantes, incluyendo los resultantes y varios tipos de discriminantes. En general, estos eliminantes también son invariantes bajo varios cambios de variables y son fundamentales en la teoría de invariantes.
Todos estos conceptos son efectivos, en el sentido de que sus definiciones incluyen un método de cálculo. Cerca de 1890, David Hilbert introdujo métodos no efectivos, y esto se consideró una revolución, lo que llevó a que la mayoría de los geométricos algebraicos de la primera mitad del siglo XX intentaran "eliminar la eliminación". Sin embargo, el Teorema de Nulidad de Hilbert puede considerarse como perteneciente a la teoría de la eliminación, ya que afirma que un sistema de ecuaciones polinómicas no tiene solución alguna si y solo si se puede eliminar todos los incógnitas para obtener la ecuación constante 1 = 0.

La teoría de la eliminación culminó con el trabajo de Leopold Kronecker y finalmente de Macaulay, quien introdujo los resultantes multivariantes y los resultantes U, proporcionando métodos de eliminación completos para sistemas de ecuaciones polinómicas, como se describe en el capítulo sobre Teoría de la eliminación en las primeras ediciones (1930) de la Moderna Algebra de van der Waerden.
Más tarde, la teoría de la eliminación se consideró anticuada y se eliminó de las ediciones posteriores de la Moderna Algebra. Generalmente se ignoró hasta la introducción de las computadoras, y más específicamente de la álgebra computacional, lo que volvió relevante el diseño de algoritmos de eliminación eficientes, en lugar de solo resultados de existencia y estructurales. Los principales métodos para este renacimiento de la teoría de la eliminación son las bases de Gröbner y la descomposición algebraica cilíndrica, introducidas alrededor de 1970.


Conexión con la lógica
También hay un aspecto lógico de la teoría de la eliminación, como se ve en el problema de satisfactibilidad booleana. En el peor de los casos, es probablemente difícil eliminar variables computacionalmente. La eliminación de cuantificadores es un término utilizado en la lógica matemática para explicar que, en algunas teorías, cualquier fórmula es equivalente a una fórmula sin cuantificadores. Este es el caso de la teoría de los polinomios sobre un campo algebraicamente cerrado, donde la teoría de la eliminación puede considerarse como la teoría de los métodos para hacer efectiva la eliminación de cuantificadores algorítmicamente. La eliminación de cuantificadores sobre los reales es otro ejemplo, que es fundamental en la geometría algebraica computacional.


Véase también
Algoritmo de Buchberger
Algoritmos F4 y F5 de Faugère
Resultante
Descomposición triangular
Teorema principal de la teoría de la eliminación


Referencias
Israel Gelfand, Mikhail Kapranov, Andrey Zelevinsky, Discriminantes, resultantes y determinantes multidimensionales. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1994. x+523 pp. ISBN 0-8176-3660-9
Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Tercera edición revisada), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
David Cox, John Little, Donal O'Shea, Using Algebraic Geometry. Segunda edición revisada. Graduate Texts in Mathematics, vol. 185. Springer-Verlag, 2005, xii+558 pp., ISBN 978-0-387-20733-9