Variable fuzzy aleatoria - Enciclopedia

En las mediciones, la medición obtenida puede padecer de dos tipos de incertidumbres. La primera es la incertidumbre aleatoria, que se debe al ruido en el proceso y en la medición. La segunda contribución es debido a la incertidumbre sistemática, que puede estar presente en el instrumento de medición. Los errores sistemáticos, si se detectan, pueden ser fácilmente compensados, ya que suelen ser constantes a lo largo del proceso de medición siempre y cuando el instrumento de medición y el proceso de medición no se alteren. Pero no se puede conocer con precisión mientras se utiliza el instrumento si hay un error sistemático y, si lo hay, ¿cuánto? Por lo tanto, la incertidumbre sistemática podría considerarse como una contribución de naturaleza borrosa.

Este error sistemático se puede modelar aproximadamente basándose en nuestros datos pasados sobre el instrumento de medición y el proceso.

Se pueden utilizar métodos estadísticos para calcular la incertidumbre total de ambas contribuciones sistemáticas y aleatorias en una medición. Sin embargo, la complejidad computacional es muy alta, y por lo tanto, no deseable.

L.A. Zadeh introdujo los conceptos de variables borrosas y conjuntos borrosos. Las variables borrosas se basan en la teoría de la posibilidad y, por lo tanto, son distribuciones de posibilidad. Esto las hace adecuadas para manejar cualquier tipo de incertidumbre, es decir, tanto las contribuciones sistemáticas como aleatorias a la incertidumbre total.

La variable borrosa aleatoria (VBA) es una variable borrosa del tipo 2, definida utilizando la teoría matemática de la posibilidad, utilizada para representar toda la información asociada a un resultado de medición. Tiene una distribución de posibilidad interna y una distribución de posibilidad externa denominada funciones de membresía. La distribución interna es la contribución de incertidumbre debido a la incertidumbre sistemática y los límites de la VBA se deben a las contribuciones aleatorias. La distribución externa proporciona los límites de incertidumbre de todas las contribuciones.


Definición

Una variable borrosa aleatoria (VBA) se define como una variable borrosa del tipo 2 que cumple con las siguientes condiciones:

Ambas funciones interna y externa de la VBA pueden identificarse.

Ambas funciones interna y externa se modelan como distribuciones de posibilidad (DP).

Ambas funciones interna y externa tienen un valor unitario de posibilidad para el mismo intervalo de valores.

Una VBA puede verse en la figura. La función de membresía externa es la distribución en azul y la función de membresía interna es la distribución en rojo. Ambas funciones de membresía son distribuciones de posibilidad. Ambas funciones de membresía interna y externa tienen un valor unitario de posibilidad solo en la parte rectangular de la VBA. Por lo tanto, se han cumplido todas las condiciones.

Si solo hay errores sistemáticos en la medición, la VBA simplemente se convierte en una variable borrosa que consiste solo en la función de membresía interna. De manera similar, si no hay errores sistemáticos, la VBA se convierte en una variable borrosa con solo las contribuciones aleatorias y, por lo tanto, es solo la distribución de posibilidad de las contribuciones aleatorias.


Construcción

Una variable borrosa aleatoria se puede construir utilizando una distribución de posibilidad interna (rinterna) y una distribución de posibilidad aleatoria (rrandom).


= La distribución aleatoria (rrandom) =

rrandom es la distribución de posibilidad de las contribuciones aleatorias a la incertidumbre. Cualquier instrumento o proceso de medición padece contribuciones de errores aleatorios debido al ruido intrínseco u otros efectos.

Este es completamente aleatorio en su naturaleza y es una distribución de probabilidad normal cuando se combinan varias contribuciones aleatorias según el teorema central de la limitación. Sin embargo, también pueden haber contribuciones aleatorias de otras distribuciones de probabilidad, como una distribución uniforme, distribución gamma y otras.

La distribución de probabilidad se puede modelar a partir de los datos de medición. Luego, la distribución de probabilidad se puede utilizar para modelar una distribución de posibilidad equivalente utilizando la transformación de probabilidad-possibility máximamente específica.

Se pueden ver algunas distribuciones de probabilidad comunes y las distribuciones de posibilidad correspondientes en las figuras.


= La distribución interna (rinterna) =

rinterna es la distribución interna en la VBA que es la distribución de posibilidad de la contribución sistemática a la incertidumbre total. Esta distribución se puede construir basándose en la información disponible sobre el instrumento de medición y el proceso.

La mayor distribución posible es la distribución uniforme o rectangular de posibilidad. Esto significa que cada valor en el intervalo especificado es igualmente posible. Esto realmente representa el estado de ignorancia total según la teoría de la evidencia, lo que significa que representa una situación en la que hay máximo déficit de información.

Esta distribución se utiliza para el error sistemático cuando no tenemos absolutamente ninguna idea sobre el error sistemático, salvo que pertenece a un intervalo de valores particular. Esto es bastante común en las mediciones.

Sin embargo, en ciertos casos, puede saberse que ciertos valores tienen un grado de creencia más alto o más bajo que otros valores. En este caso, dependiendo de los grados de creencia de los valores, se puede construir una distribución de posibilidad apropiada.


= La construcción de la distribución externa (rexterna) y la VBA =

Después de modelar las distribuciones de posibilidad interna y aleatoria, la función de membresía externa, rexterna, de la VBA se puede construir utilizando la siguiente ecuación:

donde




x

∗




{\displaystyle x^{*}}

es el modo de




r


random





{\displaystyle r_{\textit {random}}}

, que es el pico en la función de membresía de




r

r
a
n
d
o
m




{\displaystyle r_{random}}

y Tmin es la norma triangular mínima.
La VBA también se puede construir a partir de las distribuciones interna y aleatoria considerando los cortes α de las dos distribuciones de posibilidad (DP).

Un corte α de una variable borrosa F se puede definir como

Por lo tanto, esencialmente, un corte α es el conjunto de valores para los cuales el valor de la función de membresía




μ


F



(
a
)


{\displaystyle \mu _{\rm {F}}(a)}

de la variable borrosa es mayor que α. Esto proporciona los límites superior e inferior de la variable borrosa F para cada corte α.

El corte α de una VBA, sin embargo, tiene 4 límites específicos y se da por



R
F

V

α


=
[

X

a


α


,

X

b


α


,

X

c


α


,

X

d


α


]


{\displaystyle RFV^{\alpha }=[X_{a}^{\alpha },X_{b}^{\alpha },X_{c}^{\alpha },X_{d}^{\alpha }]}

.




X

a


α




{\displaystyle X_{a}^{\alpha }}

y




X

d


α




{\displaystyle X_{d}^{\alpha }}

son los límites inferior y superior respectivamente de la función de membresía externa (rexterna) que es una variable borrosa en sí misma.




X

b


α




{\displaystyle X_{b}^{\alpha }}

y




X

c


α




{\displaystyle X_{c}^{\alpha }}

son los límites inferior y superior respectivamente de la función de membresía interna (rinterna) que es una variable borrosa en sí misma.
Para construir la VBA, consideremos los cortes α de las dos DP, es decir, rrandom y rinternal para el mismo valor de α. Esto proporciona los límites inferior y superior para los dos cortes α. Dejenlos ser



[

X

L
R


α


,

X

U
R


α


]


{\displaystyle [X_{LR}^{\alpha },X_{UR}^{\alpha }]}

y



[

X

L
I


α


,

X

U
I


α


]


{\displaystyle [X_{LI}^{\alpha },X_{UI}^{\alpha }]}

para las distribuciones aleatorias e internas respectivamente.



[

X

L
R


α


,

X

U
R


α


]


{\displaystyle [X_{LR}^{\alpha },X_{UR}^{\alpha }]}

puede dividirse nuevamente en dos subintervalos



[

X

L
R


α


,

x

∗


]


{\displaystyle [X_{LR}^{\alpha },x^{*}]}

y



[

x

∗


,

X

U
R


α


]


{\displaystyle [x^{*},X_{UR}^{\alpha }]}

donde




x

∗




{\displaystyle x^{*}}

es el modo de la variable borrosa. Luego, el corte α para la VBA para el mismo valor de α,



R
F

V

α


=
[

X

a


α


,

X

b


α


,

X

c


α


,

X

d


α


]


{\displaystyle RFV^{\alpha }=[X_{a}^{\alpha },X_{b}^{\alpha },X_{c}^{\alpha },X_{d}^{\alpha }]}

se puede definir por

Usando las ecuaciones anteriores, se calculan los cortes α para cada valor de α, lo que proporciona el gráfico final de la VBA.

Una variable borrosa aleatoria es capaz de proporcionar una imagen completa de las contribuciones aleatorias y sistemáticas a la incertidumbre total a partir de los cortes α para cualquier nivel de confianza, ya que el nivel de confianza no es más que 1-α.

Un ejemplo de la construcción de la función de membresía externa correspondiente (rexterna) y la VBA a partir de una distribución de probabilidad aleatoria y una distribución de posibilidad interna puede verse en la siguiente figura.


Véase también

Teoría de Dempster–Shafer
Conjunto borroso
Error observacional
Teoría de la posibilidad
Distribución de probabilidad
Teoría de la probabilidad
Norma-t
Conjuntos y sistemas borrosos del tipo 2


Referencias