MV-algebra - Enciclopedia

En la álgebra abstracta, una rama de las matemáticas puras, un álgebra MV es una estructura algebraica con una operación binaria


⊕


{\displaystyle \oplus }

, una operación unaria


¬


{\displaystyle \neg }

, y la constante


0


{\displaystyle 0}

, que satisface ciertos axiomas. Las álgebras MV son la semántica algebraica de la lógica de Lukasiewicz; las letras MV se refieren a la lógica multivaluada de Lukasiewicz. Las álgebras MV coinciden con la clase de álgebras BCK conmutativas acotadas.

Definiciones
Una álgebra MV es una estructura algebraica



⟨
A
,
⊕
,
¬
,
0
⟩
,


{\displaystyle \langle A,\oplus ,\lnot ,0\rangle ,}

que consiste en

un conjunto no vacío



A
,


{\displaystyle A,}


una operación binaria



⊕


{\displaystyle \oplus }

en



A
,


{\displaystyle A,}


una operación unaria



¬


{\displaystyle \lnot }

en



A
,


{\displaystyle A,}

y

una constante



0


{\displaystyle 0}

que denota un elemento fijo de



A
,


{\displaystyle A,}


que satisface las siguientes identidades:




(
x
⊕
y
)
⊕
z
=
x
⊕
(
y
⊕
z
)
,


{\displaystyle (x\oplus y)\oplus z=x\oplus (y\oplus z),}





x
⊕
0
=
x
,


{\displaystyle x\oplus 0=x,}





x
⊕
y
=
y
⊕
x
,


{\displaystyle x\oplus y=y\oplus x,}





¬
¬
x
=
x
,


{\displaystyle \lnot \lnot x=x,}





x
⊕
¬
0
=
¬
0
,


{\displaystyle x\oplus \lnot 0=\lnot 0,}

y




¬
(
¬
x
⊕
y
)
⊕
y
=
¬
(
¬
y
⊕
x
)
⊕
x
.


{\displaystyle \lnot (\lnot x\oplus y)\oplus y=\lnot (\lnot y\oplus x)\oplus x.}


Gracias a los primeros tres axiomas,



⟨
A
,
⊕
,
0
⟩


{\displaystyle \langle A,\oplus ,0\rangle }

es un monoido conmutativo. Siendo definido por identidades, las álgebras MV forman una variedad de álgebras. La variedad de álgebras MV es una subvariedad de la variedad de álgebras BL y contiene todas las álgebras booleanas.

Una álgebra MV puede definirse equivalente (Hájek 1998) como un anillo prelineal conmutativo acotado residuado integral



⟨
L
,
∧
,
∨
,
⊗
,
→
,
0
,
1
⟩


{\displaystyle \langle L,\wedge ,\vee ,\otimes ,\rightarrow ,0,1\rangle }

que satisface la identidad adicional



x
∨
y
=
(
x
→
y
)
→
y
.


{\displaystyle x\vee y=(x\rightarrow y)\rightarrow y.}



Ejemplos de álgebras MV
Un ejemplo numérico simple es



A
=
[
0
,
1
]
,


{\displaystyle A=[0,1],}

con operaciones



x
⊕
y
=
min
(
x
+
y
,
1
)


{\displaystyle x\oplus y=\min(x+y,1)}

y



¬
x
=
1
−
x
.


{\displaystyle \lnot x=1-x.}

En la lógica matemática borrosa, esta álgebra MV se llama álgebra MV estándar, ya que forma la semántica real-valuada estándar de la lógica de Lukasiewicz.

La álgebra MV trivial tiene el único elemento 0 y las operaciones definidas de la única manera posible,



0
⊕
0
=
0


{\displaystyle 0\oplus 0=0}

y



¬
0
=
0.


{\displaystyle \lnot 0=0.}


La álgebra MV de dos elementos es realmente el anillo booleano de dos elementos



{
0
,
1
}
,


{\displaystyle \{0,1\},}

con



⊕


{\displaystyle \oplus }

coincidiendo con la disyunción booleana y



¬


{\displaystyle \lnot }

con la negación booleana. De hecho, añadiendo el axioma



x
⊕
x
=
x


{\displaystyle x\oplus x=x}

a los axiomas que definen una álgebra MV, se obtiene una axiomatización de los álgebras booleanas.

Si en su lugar el axioma añadido es



x
⊕
x
⊕
x
=
x
⊕
x


{\displaystyle x\oplus x\oplus x=x\oplus x}

, entonces los axiomas definen la álgebra MV3 correspondiente a la lógica de Lukasiewicz trivaluada Ł3. Otras álgebras MV finitas linealmente ordenadas se obtienen restringiendo el universo y las operaciones de la álgebra MV estándar al conjunto de



n


{\displaystyle n}

números reales equidistantes entre 0 y 1 (ambos incluidos), es decir, el conjunto



{
0
,
1

/

(
n
−
1
)
,
2

/

(
n
−
1
)
,
…
,
1
}
,


{\displaystyle \{0,1/(n-1),2/(n-1),\dots ,1\},}

que está cerrado bajo las operaciones



⊕


{\displaystyle \oplus }

y



¬


{\displaystyle \lnot }

de la álgebra MV estándar; estas álgebras suelen denominarse MVn.

Otro ejemplo importante es la álgebra MV de Chang, que consiste solo en infinitesimales (con el tipo de orden ω) y sus co-infinitesimales.

Chang también construyó una álgebra MV a partir de un grupo totally ordenado abeliano arbitrario G al fijar un elemento positivo u y definir el segmento [0, u] como { x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u }, que se convierte en una álgebra MV con x ⊕ y = min(u, x + y) y ¬x = u − x. Además, Chang mostró que cualquier álgebra MV linealmente ordenada es isomorfa a una álgebra MV construida de esta manera.

Daniele Mundici extendió la construcción anterior a los grupos lattice-ordenados abelianos. Si G es tal grupo con unidad fuerte (de orden) u, entonces el "intervalo unitario" { x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u } puede equiparse con ¬x = u − x, x ⊕ y = ∧G (x + y), y x ⊗ y = ∨G (x + y − u). Esta construcción establece una equivalencia categorial entre los grupos lattice-ordenados abelianos con unidad fuerte y las álgebras MV.

Una álgebra de efecto que es lattice-ordenada y tiene la propiedad de descomposición de Riesz es una álgebra MV. Por el contrario, cualquier álgebra MV es una álgebra de efecto lattice-ordenada con la propiedad de descomposición de Riesz.

Relación con la lógica de Lukasiewicz
C. C. Chang ideó las álgebras MV para estudiar las lógicas multivaluadas, introducidas por Jan Lukasiewicz en 1920. En particular, las álgebras MV forman la semántica algebraica de la lógica de Lukasiewicz, como se describe a continuación.

Dada una álgebra MV A, una valuación de A es un homomorfismo desde el álgebra de fórmulas proposicionales (en el lenguaje que consta de



⊕
,
¬
,


{\displaystyle \oplus ,\lnot ,}

y 0) en A. Las fórmulas mapeadas a 1 (es decir, a



¬


{\displaystyle \lnot }

0) para todas las valuaciones de A se denominan tautologías de A. Si se utiliza la álgebra MV estándar sobre [0,1], el conjunto de todas las tautologías [0,1] determina lo que se llama lógica de Lukasiewicz de valores infinitos.

El teorema de completitud de Chang (1958, 1959) establece que cualquier ecuación de MV-algebra que se cumpla en la álgebra MV estándar sobre el intervalo [0,1] se cumplirá en todas las álgebras MV. Algebraicamente, esto significa que la álgebra MV estándar genera la variedad de todas las álgebras MV. Equivalente, el teorema de completitud de Chang dice que las álgebras MV caracterizan la lógica de Lukasiewicz de valores infinitos, definida como el conjunto de tautologías [0,1].

La manera en que la álgebra MV [0,1] caracteriza todas las posibles álgebras MV se compara con el hecho bien conocido de que las identidades que se cumplen en el álgebra booleano de dos elementos se cumplen en todas las posibles álgebras booleanas. Además, las álgebras MV caracterizan la lógica de Lukasiewicz de valores infinitos de manera análoga a la manera en que las álgebras booleanas caracterizan la lógica bivalente clásica (ver álgebra de Lindenbaum-Tarski).

En 1984, Font, Rodriguez y Torrens introdujeron el álgebra de Wajsberg como un modelo alternativo para la lógica de Lukasiewicz de valores infinitos. Las álgebras de Wajsberg y las álgebras MV son equivalentes en términos de términos.

= Álgebras MVn =

En los años 1940, Grigore Moisil introdujo sus álgebras de Lukasiewicz-Moisil (álgebras LMn) con la esperanza de proporcionar una semántica algebraica para la lógica de Lukasiewicz (finitamente) n-valuada. Sin embargo, en 1956, Alan Rose descubrió que para n ≥ 5, la álgebra de Lukasiewicz-Moisil no modela la lógica de Lukasiewicz n-valuada. Aunque C. C. Chang publicó su álgebra MV en 1958, solo es un modelo fidedigno para la lógica de Lukasiewicz-Tarski de valores infinitos ℵ0. Para las lógicas de Lukasiewicz n-valuadas más complicadas (finitamente) n-valuadas, se publicaron álgebras adecuadas en 1977 por Revaz Grigolia y se denominaron álgebras MVn. Las álgebras MVn son una subclase de las álgebras LMn; la inclusión es estricta para n ≥ 5.

Las álgebras MVn son álgebras MV que satisfacen algunos axiomas adicionales, al igual que las lógicas de Lukasiewicz n-valuadas tienen axiomas adicionales añadidos a la lógica de valores infinitos ℵ0.

En 1982, Roberto Cignoli publicó algunas restricciones adicionales que añaden a las álgebras LMn para proporcionar modelos adecuados para la lógica de Lukasiewicz n-valuada; Cignoli denominó su descubrimiento álgebras de Lukasiewicz n-valuadas adecuadas. Las álgebras LMn que también son álgebras MVn son precisamente las álgebras de Lukasiewicz n-valuadas adecuadas de Cignoli.

Relación con el análisis funcional
Las álgebras MV se relacionaron con Daniele Mundici a los álgebras C*-aproximadamente finitamente dimensionales mediante la establecimiento de una correspondencia biyectiva entre todas las clases isomorfas de álgebras C*-aproximadamente finitamente dimensionales con grupo de dimensión lattice-ordenada y todas las clases isomorfas de álgebras MV contables. Algunos ejemplos de esta correspondencia incluyen:

En el software
Hay múltiples marcos que implementan la lógica borrosa (tipo II), y la mayoría de ellos implementan lo que se ha llamado lógica de adjunto múltiple. Esto no es más que la implementación de una álgebra MV.

Referencias
Chang, C. C. (1958) "Análisis algebraico de lógicas multivaluadas," Transactions of the American Mathematical Society 88: 476–490.
------ (1959) "Una nueva prueba de la completitud de los axiomas de Lukasiewicz," Transactions of the American Mathematical Society 88: 74–80.
Cignoli, R. L. O., D'Ottaviano, I. M. L., Mundici, D. (2000) Fundamentos algebraicos del razonamiento multivaluado. Kluwer.
Di Nola A., Lettieri A. (1993) "Caracterización equacional de todas las variedades de álgebras MV," Journal of Algebra 221: 463–474 doi:10.1006/jabr.1999.7900.
Hájek, Petr (1998) Metamatemática de la lógica borrosa. Kluwer.
Mundici, D.: Interpretación de álgebras C*-aproximadamente finitamente dimensionales en el cálculo proposicional de Lukasiewicz. J. Funct. Anal. 65, 15–63 (1986) doi:10.1016/0022-1236(86)90015-7

Leer más
Daniele Mundici, Álgebras MV. Un tutorial breve
D. Mundici (2011). Cálculo de Lukasiewicz avanzado y álgebras MV. Springer. ISBN 978-94-007-0839-6.
Mundici, D. Las álgebras C*-de la lógica de Lukasiewicz trivaluada. Colóquio de Lógica '88, Procesos del Colóquio celebrado en Padova 61–77 (1989). doi:10.1016/s0049-237x(08)70262-3
Cabrer, L. M. & Mundici, D. Un teorema de Stone-Weierstrass para álgebras MV y grupos ℓ-abelianos unital. Journal of Logic and Computation (2014). doi:10.1093/logcom/exu023
Olivia Caramello, Anna Carla Russo (2014) La equivalencia Morita entre álgebras MV y grupos ℓ-abelianos con unidad fuerte

Enlaces externos
Enciclopedia Estadounidense de Filosofía: "Lógica multivaluada"—por Siegfried Gottwald.