Lógicas fuzzy con normales T - Enciclopedia

Las lógicas fuzzy basadas en t-normas son una familia de lógicas no clásicas, informalmente definidas por tener una semántica que toma el intervalo unitario real [0, 1] para el sistema de valores de verdad y funciones llamadas t-normas para interpretaciones permitidas de la conjunción. Se utilizan principalmente en la lógica fuzzy aplicada y la teoría de los conjuntos fuzzy como base teórica para el razonamiento aproximado.

Las lógicas fuzzy basadas en t-normas pertenecen a clases más amplias de lógicas fuzzy y lógicas de valores múltiples. Para generar una implicación bien comportada, las t-normas suelen requerir ser continuas desde la izquierda; las lógicas de t-normas continuas desde la izquierda pertenecen a la clase de lógicas subestructurales, entre las que se destacan por la validez de la ley de prelinealidad, (A → B) ∨ (B → A). Se estudian tanto las lógicas proposicionales como las de primer orden (o de orden superior) basadas en t-normas fuzzy, así como sus expansiones por operadores modales y otros. Las lógicas que restringen la semántica de t-norma a un subconjunto del intervalo unitario real (por ejemplo, las lógicas de Lukasiewicz de valor finito) suelen incluirse también en la clase.

Ejemplos importantes de lógicas fuzzy basadas en t-normas son la lógica de t-norma monoidal (MTL) de todas las t-normas continuas desde la izquierda, la lógica básica (BL) de todas las t-normas continuas, la lógica fuzzy de producto de la t-norma de producto, o la lógica del mínimo nilpotente de la t-norma del mínimo nilpotente. Algunas lógicas motivadas independientemente también pertenecen a las lógicas fuzzy basadas en t-normas, como la lógica de Lukasiewicz (que es la lógica de la t-norma de Lukasiewicz) o la lógica Gödel-Dummett (que es la lógica de la t-norma del mínimo).

Motivación
Como miembros de la familia de las lógicas fuzzy, las lógicas fuzzy basadas en t-normas buscan principalmente generalizar la lógica binaria clásica admitiendo valores de verdad intermedios entre 1 (verdad) y 0 (falsedad) que representan grados de verdad de proposiciones. Se asume que los grados son números reales del intervalo unitario [0, 1]. En las lógicas fuzzy de t-norma proposicional, se establece que los conectores proposicionales son funcionales de verdad, es decir, el valor de verdad de una proposición compleja formada por un conector proposicional de algunas proposiciones constituyentes es una función (denominada función de verdad del conector) de los valores de verdad de las proposiciones constituyentes. Las funciones de verdad operan sobre el conjunto de grados de verdad (en la semántica estándar, sobre el intervalo [0, 1]); por lo tanto, la función de verdad de un conector proposicional n-ario c es una función Fc: [0, 1]^n → [0, 1]. Las funciones de verdad generalizan las tablas de verdad de los conectores proposicionales conocidos de la lógica clásica para operar en el sistema más amplio de valores de verdad.

Las lógicas fuzzy basadas en t-normas imponen ciertas restricciones naturales sobre la función de verdad de la conjunción. La función de verdad de la conjunción se asume que satisface las siguientes condiciones:

Commutatividad, es decir,

x * y = y * x

para todos x e y en [0, 1]. Esto expresa la suposición de que el orden de las proposiciones fuzzy en la conjunción es irrelevante, incluso si se admiten grados de verdad intermedios.

Asociatividad, es decir,

(x * y) * z = x * (y * z)

para todos x, y y z en [0, 1]. Esto expresa la suposición de que el orden de realizar la conjunción es irrelevante, incluso si se admiten grados de verdad intermedios.

Monotonía, es decir, si

x ≤ y

entonces

x * z ≤ y * z

para todos x, y y z en [0, 1]. Esto expresa la suposición de que aumentar el grado de verdad de un conjunción no debe reducir el grado de verdad de la conjunción.

Neutralidad de 1, es decir,

1 * x = x

para todos x en [0, 1]. Esta suposición coincide con considerar que el grado de verdad 1 es la verdad completa, la conjunción con la cual no reduce el valor de verdad del otro conjunción. Juntos con las condiciones anteriores, esta condición asegura que también

0 * x = 0

para todos x en [0, 1], lo que coincide con considerar que el grado de verdad 0 es la falsedad completa, la conjunción con la cual siempre es completamente falsa.

Continuidad de la función

*

(el requisito anterior reduce esta condición a la continuidad en cualquiera de los argumentos). Informalmente, esto expresa la suposición de que los cambios microscópicos de los grados de verdad de los conjunciones no deben resultar en un cambio macroscópico del grado de verdad de su conjunción. Esta condición, entre otras cosas, asegura un buen comportamiento (residual) de la implicación derivada de la conjunción; sin embargo, para asegurar el buen comportamiento, es suficiente la continuidad desde la izquierda (en cualquiera de los argumentos) de la función

*

(que es suficiente para asegurar la continuidad en cualquiera de los argumentos). Por lo tanto, en las lógicas fuzzy basadas en t-normas generales, solo se requiere la continuidad desde la izquierda de

*

(expresando la suposición de que un descenso microscópico del grado de verdad de un conjunción no debe reducir macroscópicamente el grado de verdad de la conjunción).

Estas suposiciones hacen que la función de verdad de la conjunción sea una t-norma continua desde la izquierda, lo que explica el nombre de la familia de lógicas fuzzy (basada en t-normas). Las lógicas particular de la familia pueden hacer otras suposiciones sobre el comportamiento de la conjunción (por ejemplo, la lógica Gödel-Dummett requiere su idempotencia) o otros conectores (por ejemplo, la lógica IMTL (lógica monoidal t-norma involutiva) requiere la involutividad de la negación).

Todas las t-normas continuas desde la izquierda tienen un residuo único, es decir, una función binaria

⇒

tal que para todos x, y y z en [0, 1],

x * y ≤ z

si y solo si

x ≤ y ⇒ z.

El residuo de una t-norma continua desde la izquierda puede definirse explícitamente como

(x ⇒ y) = sup{z ∣ z * x ≤ y}.

Esto asegura que el residuo es la función más grande en punto a punto tal que para todos x y y,

x * (x ⇒ y) ≤ y.

El último puede interpretarse como una versión fuzzy de la regla de inferencia modus ponens. Por lo tanto, el residuo de una t-norma continua desde la izquierda puede caracterizarse como la función más débil que hace válida la inferencia fuzzy modus ponens, lo que lo hace una función de verdad adecuada para la implicación en la lógica fuzzy. La continuidad desde la izquierda de la t-norma es la condición necesaria y suficiente para que esta relación entre una conjunción de t-norma y su implicación residual implícita se cumpla.

Las funciones de verdad de otros conectores proposicionales pueden definirse mediante la t-norma y su residuo, por ejemplo, la negación residual

¬x = (x ⇒ 0)

o la equivalencia bi-residual

x ≡ y = (x ⇒ y) * (y ⇒ x).

Las funciones de verdad de los conectores proposicionales también pueden introducirse mediante definiciones adicionales: las más comunes son el mínimo (que juega el papel de otro conector conjuntivo), el máximo (que juega el papel de un conector disjuntivo) o el operador Baaz Delta, definido en [0, 1] como

Δx = 1